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Buca di potenziale




In meccanica quantistica la buca di potenziale è un potenziale unidimensionale che commuta tra due valori, in corrispondenza di un certo intervallo \({\displaystyle 0<x<a}\); il più piccolo dei due livelli di potenziale può essere sempre posto uguale a zero. Una funzione del tipo:

\({\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&0<x<a\\\infty &x<0;\,x>a\end{cases}}}\)

costituisce una buca di potenziale infinita[1], mentre

\({\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&0<x<a\\V_{0}&x<0;\,x>a\end{cases}}}\)

definisce una buca di potenziale finita.

In modo simile, si possono definire delle buche di potenziale in due o tre dimensioni.

Indice

Buca di potenziale infinita


L'equazione di Schrödinger stazionaria in una dimensione è in generale

\({\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\,\psi (x)=E\,\psi (x).}\)

dove m è la massa della particella, E l'energia dello stato \({\displaystyle \psi }\).

Come mostrato in figura, il potenziale divide la regione in tre zone: la prima per \({\displaystyle x<0}\), la seconda \({\displaystyle 0<x<a}\) e la terza per \({\displaystyle x>a}\); allora, il problema va trattato in ognuna delle tre zone e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza dei punti di separazione.

Chiaramente nella zona \({\displaystyle x<0}\) e nella zona \({\displaystyle x>a}\) l'unica soluzione per cui \({\displaystyle V(x)\to \infty }\) si ha per

\({\displaystyle \psi (x)=0,\qquad x<0,x>a.}\)

Nella zona \({\displaystyle 0<x<a}\), l'equazione di Schrödinger, per \({\displaystyle V(x)=0}\), coincide con quella di una particella libera:

\({\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\,\psi (x),}\)

in cui le energie devono essere positive, \({\displaystyle E>0}\), in modo da avere soluzioni continue e normalizzabili. Possiamo, così, introdurre il vettore d'onda k, tale che \({\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}\), in modo da riscrivere l'equazione di Schrödinger come:

\({\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=-k^{2}\,\psi (x)}\)

Quest'ultima ha soluzione generale in termini degli esponenziali complessi \({\displaystyle e^{\pm ikx}}\):

\({\displaystyle \psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}\)

con A, B coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Ma per il nostro problema non esistono stati con \({\displaystyle E<0}\). Quindi imponendo le condizioni al contorno:

\({\displaystyle \psi (0)=\psi (a)=0}\)

otteniamo

\({\displaystyle \psi (x=0)=A+B=0}\)

cioè \({\displaystyle A=-B}\)

Inoltre per

\({\displaystyle \psi (x=a)=Ae^{ika}+Be^{-ika}=0}\)

da cui sostituendo le espressioni reali tramite la formula di Eulero:

\({\displaystyle ka=n\pi }\)

Dunque le due soluzioni corrispondono a quest'unica soluzione:

\({\displaystyle \psi (x)=2A\sin {(kx)}}\)

dove \({\displaystyle k={\frac {n\pi }{a}}}\) a cui corrisponde una quantizzazione dell'energia, cioè la discretizzazione dell'energia della particella dipendente dal numero n = 1, 2, ... intero positivo:

\({\displaystyle k^{2}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\;\;\;\longrightarrow \;\;\;E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}}\)

Le autofunzioni sono quindi:

\({\displaystyle \psi _{n}(x)=2A_{n}\sin {(k_{n}x)}}\)

Imponendo la normalizzazione degli stati, si ottiene la costante A:

\({\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }dx\,{|\psi (x)|}^{2}=1\;\;\;\Longrightarrow \;\;\;\int _{0}^{a}dx\,4{|A_{n}|}^{2}\sin ^{2}{(k_{n}x)}=1}\)

dalla quale:

\({\displaystyle 2a{|A|}^{2}=1}\)
\({\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2a}}}}\)

Le autofunzioni normalizzate

\({\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin \left({\frac {n\pi }{a}}x\right)}\)

costituiscono una base ortonormale per lo spazio di Hilbert \({\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(0,a)}\), essendo:

\({\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm}}\)

Lo stato fondamentale corrisponde alla scelta n = 1. Seguono gli stati eccitati (vedi figura).

La soluzione completa del problema è esprimibile come sviluppo di autofunzioni dell'energia:

\({\displaystyle \Psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\psi _{n}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}{\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin(kx)}\)

dove i coefficienti \({\displaystyle c_{n}}\) sono dati da:

\({\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\Psi (x)\,dx=\sum _{m=1}^{\infty }c_{m}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}^{*}(x)\psi _{m}(x)\,dx=c_{n}}\)

i cui moduli quadri rappresentano la probabilità che una misura dell'energia fornisca come risultato:

\({\displaystyle E=E_{n}}\)

Il valore medio dell'energia si ricava dalla:

\({\displaystyle \langle H\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x)H\Psi (x)\,dx=\sum _{n}c_{n}E_{n}\int _{-\infty }^{\infty }\Psi ^{*}(x)\psi _{n}(x)\,dx=\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}}\)

L'evoluzione temporale della funzione d'onda è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

\({\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=H\Psi (x,t)}\)

e quindi è:

\({\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{n}c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\psi _{n}(x)}\)

Buca di potenziale finita


Ridefiniamo la scala delle coordinate in modo che il potenziale sia simmetrico per riflessioni, del tipo \({\displaystyle x\to -x}\), e ridefiniamo la scala delle energie in modo da avere:

\({\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&\vert x\vert <a\\0&\vert x\vert >a\end{cases}}.}\)

In questo caso l'equazione di Schrödinger nelle zone \({\displaystyle \vert x\vert >a}\) e \({\displaystyle \vert x\vert <a}\) è del tipo:

\({\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+|E|\,\psi (x)=0&\,\vert x\vert >a\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-(V_{0}-|E|)\,\psi (x)=0&\,\vert x\vert <a\end{cases}}}\)

Poiché

\({\displaystyle V\left(x\right)=V\left(-x\right),}\)

l'operatore hamiltoniano commuta con l'operatore parità:

\({\displaystyle \left[H,P\right]=0}\)

Le funzioni d'onda soluzione dell'equazione di Schrödinger sono autofunzioni dell'energia e della parità. Poniamo le due quantità reali:

\({\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {2m|E|}{\hbar ^{2}}}}\)
\({\displaystyle q^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}}\)

l'equazione di Schrödinger si riscrive:

\({\displaystyle {\begin{cases}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)-\lambda ^{2}\psi (x)=0&\,|x|>a\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+q^{2}\psi (x)=0&\,|x|<a\end{cases}}}\)

Esplicitamente le funzioni d'onda sono date da:

\({\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}e^{i\lambda x}+Be^{-i\lambda x}&\,x<-a\\C\psi ^{+}(x)+D\psi ^{-}(x)&\,-a\leq x\leq a\\De^{i\lambda x}&\,x>a\end{cases}}}\)

dove le autofunzioni:

\({\displaystyle \psi ^{+}\left(x\right)=\psi ^{+}\left(-x\right)}\)

sono a parità pari, mentre

\({\displaystyle \psi ^{-}\left(x\right)=-\psi ^{-}\left(-x\right)}\)

sono a parità dispari.

Trattiamo il caso delle autofunzioni pari prendendo gli esponenziali reali:

\({\displaystyle \psi ^{+}(x)={\begin{cases}Be^{\lambda x}&\,x<-a\\C\cos(qx)&\,-a\leq x\leq a\\Be^{-\lambda x}&\,x>a\end{cases}}}\)

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in \({\displaystyle x=-a}\) perché la stessa condizione sia soddisfatta in \({\displaystyle x=a}\):

\({\displaystyle \psi ^{+}(x)={\begin{cases}Be^{-\lambda a}=C\cos(qa)\\B\lambda e^{-\lambda a}=Cq\sin(qa)\end{cases}}}\)

da queste due otteniamo:

\({\displaystyle q\tan(qa)=\lambda }\)

Questa equazione può essere risolta graficamente. Definiamo:

\({\displaystyle y=qa,\qquad y_{0}^{2}={\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}\)

da cui:

\({\displaystyle \lambda ^{2}\,a^{2}=y_{0}^{2}-q^{2}\,a^{2}=y_{0}^{2}-y^{2}{\text{.}}}\)

Rappresentando a grafico i due membri dell'equazione:

\({\displaystyle \tan y={\frac {\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}{y}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}}\)

otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Allo stesso modo nel caso delle autofunzioni dispari:

\({\displaystyle \psi ^{-}(x)={\begin{cases}B^{\prime }e^{\lambda x}&\,x<-a\\C^{\prime }\sin(qx)&\,-a\leq x\leq a\\B^{\prime }e^{-\lambda x}&\,x>a\end{cases}}}\)

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in \({\displaystyle x=a}\) perché la stessa condizione sia soddisfatta in \({\displaystyle x=-a}\):

\({\displaystyle \psi ^{-}(x)={\begin{cases}B^{\prime }e^{-\lambda a}=-C^{\prime }\sin(qa)\\B^{\prime }\lambda e^{-\lambda a}=C^{\prime }q\cos(qa)\end{cases}}}\)

da queste due otteniamo:

\({\displaystyle q\cot(qa)=-\lambda }\)

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica, graficando i due membri dell'equazione:

\({\displaystyle -\cot y={\frac {\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}{y}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}}\)

che possiamo riscrivere nella forma:

\({\displaystyle \tan y=-{\frac {y}{\sqrt {y_{0}^{2}-y^{2}}}}\qquad {\mbox{ per }}\quad y^{2}\leq y_{0}^{2}}\)

Otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Ad esempio, per \({\displaystyle y_{0}=6}\), le soluzioni grafiche sono mostrate in figura. Notiamo che ogni autostato è doppiamente degenere.

Le autofunzioni sono quindi:

\({\displaystyle \psi _{E}(x)={\begin{cases}e^{-\lambda |x|}&\,|x|>a\\\psi ^{+}(x)=\cos(qx)&\,|x|\leq a\\\psi ^{-}(x)=\sin(qx)&\,|x|\leq a\end{cases}}}\)

dove \({\displaystyle \lambda }\) e \({\displaystyle q}\) sono definite sopra e legate tra loro.

Note


  1. ^ Sarebbe più corretto dire "buca di potenziale di profondità infinita (o finita)", ma l'espressione più breve è comunemente utilizzata dai fisici.

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