Distanza di cerchio massimo


Per distanza di cerchio massimo si intende la distanza minima fra due punti posti su una superficie sferica, e coincide con l'arco di cerchio massimo che comprende i due punti. Questa distanza è anche detta ortodromia ed è la traiettoria percorsa dagli aeromobili, poiché implica un minor consumo di carburante e di tempo rispetto alla lossodromia.

Essa rappresenta il tragitto più breve ed ha la caratteristica di tagliare tutti i meridiani con angoli diversi, lungo un cerchio massimo.

Casi particolari sono gli archi di meridiano (angolo di taglio costante = 0°/180°) ed archi di parallelo (angolo di taglio costante = 90°/270°).

L'angolo che sottende questa distanza viene detto distanza angolare.

È da notare che archi del parallelo equatoriale rappresentano casi particolari dell'ortodromia in quanto, anche non variando l'angolo di intersezione con i meridiani, la distanza tra i punti considerati (partenza ed arrivo) è la minima possibile. Poiché nel caso della navigazione (aerea o marittima) è conveniente, in generale (a meno di altre variabili quali correnti marine, venti in quota, ecc.), percorrere il tragitto più breve per collegare due punti, la rotta ortodromica è quella preferenziale. Una rotta di questo tipo è però soltanto ideale, in quanto non è pensabile che il mezzo in questione possa variare in modo continuo la direzione di navigazione (intesa come orientamento rispetto ai punti cardinali). La rotta reale è molto spesso una buona approssimazione della rotta ortodromica, realizzata tramite successive rotte lossodromiche parziali (spezzata).

Indice

Calcolo per via geometrica


Siano \({\displaystyle P}\) e \({\displaystyle Q}\) due punti su una superficie sferica di raggio \({\displaystyle \rho }\) in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Definite \({\displaystyle \phi _{P}}\) e \({\displaystyle \phi _{Q}}\) le longitudini dei due punti prese dall'asse \({\displaystyle x}\) verso la proiezione dei raggi \({\displaystyle {\overline {OP}}}\) e \({\displaystyle {\overline {OQ}}}\) sul piano \({\displaystyle xy}\), e \({\displaystyle \theta _{P}}\) e\({\displaystyle \theta _{Q}}\) le latitudini dei due punti prese dal piano \({\displaystyle xy}\) verso i raggi \({\displaystyle {\overline {OP}}}\) e \({\displaystyle {\overline {OQ}}}\), le coordinate cartesiane dei due punti sono:

\({\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos \theta \cos \phi \\y=\rho \cos \theta \sin \phi \\z=\rho \sin \theta \end{cases}}}\)

La distanza rettilinea (ovvero misurata lungo la retta che attraversa i due punti P e Q) fra i due punti è

\({\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=(x_{P}-x_{Q})^{2}+(y_{P}-y_{Q})^{2}+(z_{p}-z_{q})^{2}=}\)
\({\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=(\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}-\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q})^{2}+(\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}-\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q})^{2}+(\rho \sin \theta _{P}-\rho \sin \theta _{Q})^{2}}\)

sviluppando i calcoli: \({\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2\rho ^{2}(1-\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}-\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})}\), dove \({\displaystyle \Delta \phi =\phi _{Q}-\phi _{P}}\)

Considerando il triangolo \({\displaystyle POQ}\), per trovare la lunghezza dell'arco di cerchio massimo che va da \({\displaystyle P}\) a \({\displaystyle Q}\) bisogna trovare l'ampiezza dell'angolo \({\displaystyle \gamma }\) compreso fra i due raggi \({\displaystyle {\overline {OP}}}\) e \({\displaystyle {\overline {OQ}}}\) e moltiplicarla poi per il raggio \({\displaystyle \rho }\). Denominato quest'angolo \({\displaystyle \gamma }\) risulta quindi che \({\displaystyle d(P,Q)=\rho \gamma }\). Applicando la Legge del coseno, o Teorema di Carnot, al triangolo \({\displaystyle POQ}\):

\({\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {OQ}}^{2}-2{\overline {OP}}\cdot {\overline {OQ}}\cos \gamma }\)

e quindi

\({\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=\rho ^{2}+\rho ^{2}-2\rho \rho \cos \gamma =2\rho ^{2}-2\rho ^{2}\cos \gamma }\)
\({\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}=2\rho ^{2}(1-\cos \gamma )}\)

Si eguagliano i due valori di \({\displaystyle {\overline {PQ}}^{2}}\) che abbiamo trovato:

\({\displaystyle 2\rho ^{2}(1-\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}-\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})=2\rho ^{2}(1-\cos \gamma )}\)

sviluppando i calcoli risulta che

\({\displaystyle \gamma =\arccos({\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q}})}\)

Esprimendolo in modo più esplicito in termini di LATitudine e LONGitudine diventa:

\({\displaystyle \gamma =\arccos({\cos(LON2-LON1)\cos LAT_{P}\cos LAT_{Q}+\sin LAT_{P}\sin LAT_{Q}}))}\)

Se anziché in termini di latitudine e longitudine le coordinate di P e Q sono espresse in termini di declinazione e ascensione retta, la formula diventa:

\({\displaystyle \gamma =\arccos({\cos(RA2-RA1)\cos Dec_{P}\cos Dec_{Q}+\sin Dec_{P}\sin Dec_{Q}}))}\)

Questa quantità è detta distanza angolare tra due punti sulla superficie di una sfera. Moltiplicando, come detto inizialmente, questo angolo per il raggio della sfera, si ottiene la lunghezza dell'arco passante per i due punti P e Q:

\({\displaystyle \ d(P,Q)=\rho \arccos {(\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})}}\)

Calcolo per via vettoriale


La distanza fra due punti su una sfera può essere calcolata anche tramite i vettori: consideriamo infatti i due punti \({\displaystyle P}\) e \({\displaystyle Q}\) come vettori espressi dalle matrici

\({\displaystyle {\vec {P}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}\\\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}\\\rho \sin \theta _{P}\end{bmatrix}}{\text{ e }}{\vec {Q}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q}\\\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q}\\\rho \sin \theta _{Q}\end{bmatrix}}}\)

Eseguendo il prodotto scalare fra \({\displaystyle {\vec {P}}}\) e \({\displaystyle {\vec {Q}}}\) risulta che \({\displaystyle {\vec {P}}\cdot {\vec {Q}}=\left|P\right|\left|Q\right|\cos \varepsilon }\) (dove \({\displaystyle \varepsilon }\) è sempre l'angolo compreso fra i due vettori):

\({\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{P}\cos \phi _{P}\\\rho \cos \theta _{P}\sin \phi _{P}\\\rho \sin \theta _{P}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho \cos \theta _{Q}\cos \phi _{Q}&\rho \cos \theta _{Q}\sin \phi _{Q}&\rho \sin \theta _{Q}\end{bmatrix}}=\rho ^{2}\cos \gamma }\)

Sviluppando i calcoli

\({\displaystyle \gamma =\arccos({\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q}})}\)

E quindi la distanza minima tra i due punti è

\({\displaystyle \ d(P,Q)=\rho \arccos {(\cos \Delta \phi \cos \theta _{P}\cos \theta _{Q}+\sin \theta _{P}\sin \theta _{Q})}}\)

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Data: 28.11.2020 02:45:05 CET

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