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Sistema numerico esadecimale


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Il sistema numerico esadecimale (spesso abbreviato come esa o hex) è un sistema numerico posizionale in base 16, cioè che utilizza 16 simboli invece dei 10 del sistema numerico decimale tradizionale. Per l'esadecimale si usano in genere simboli da 0 a 9 per le prime dieci cifre, e poi le lettere da A a F per le successive sei cifre, per un totale di 16 simboli.[1]

Indice

Rappresentazione


Ecco una tabella che confronta le rappresentazioni esadecimali, decimali, ottali e binarie dei numeri fino a 15:

0hex = 0dec = 0oct 0 0 0 0
1hex = 1dec = 1oct 0 0 0 1
2hex = 2dec = 2oct 0 0 1 0
3hex = 3dec = 3oct 0 0 1 1
4hex = 4dec = 4oct 0 1 0 0
5hex = 5dec = 5oct 0 1 0 1
6hex = 6dec = 6oct 0 1 1 0
7hex = 7dec = 7oct 0 1 1 1
8hex = 8dec = 10oct 1 0 0 0
9hex = 9dec = 11oct 1 0 0 1
Ahex = 10dec = 12oct 1 0 1 0
Bhex = 11dec = 13oct 1 0 1 1
Chex = 12dec = 14oct 1 1 0 0
Dhex = 13dec = 15oct 1 1 0 1
Ehex = 14dec = 16oct 1 1 1 0
Fhex = 15dec = 17oct 1 1 1 1

Perciò il numero decimale 143, la cui rappresentazione binaria è 1000 1111, può essere scritto come 8F in esadecimale.

Informatica


Il sistema esadecimale è molto usato in informatica, per la sua relazione diretta tra una cifra esadecimale e quattro cifre binarie. È spesso usato come intermediario, oppure come sistema numerico a sé stante. Per esempio, è possibile esprimere un byte con esattamente due cifre esadecimali (invece che con tre decimali). È interessante, infatti, notare come ogni cifra esadecimale corrisponda a un nibble, cioè a un numero binario di quattro cifre.

Ci sono numerosi modi per denotare un numero come esadecimale, usati in differenti linguaggi di programmazione e di descrizione hardware:

Non esiste un simbolo standard, perciò tutte le convenzioni elencate sopra vengono utilizzate, e a volte lo stesso articolo può contenere due convenzioni diverse. Ciononostante, non si crea molta confusione perché tutte sono non ambigue.

La parola "esadecimale" è peculiare, perché il prefisso esa è derivato dal greco έξι (exi) (che significa sei), e decimale deriva dalla parola latina per dieci.

Conversioni con altri sistemi numerici


Sistema decimale

Un metodo per convertire un numero esadecimale in decimale è quello di moltiplicare le sue cifre per le potenze della base 16. Ad esempio 4F \({\displaystyle =4\times 16^{1}+{\rm {F}}\times 16^{0}}\) dove F vale 15 (vedi tabella sopra):

quindi \({\displaystyle (4{\rm {{F})_{16}=4\times 16^{1}+15\times 16^{0}}}}\). (Si ricordi che 160 = 1).

Allora \({\displaystyle (4{\rm {{F})_{16}=4\times 16^{1}+15\times 1=4\times 16+15\times 1=64+15=79}}}\).

L'operazione inversa - da decimale ad esadecimale - si realizza con una serie di divisioni successive. Si utilizza la divisione con resto. Vediamo un esempio:

\({\displaystyle {\frac {79}{16}}=4,9375}\) quindi si arrotonda il risultato per difetto. Occorre ora trovare il resto, il modo più semplice è moltiplicare la parte decimale per il divisore della precedente operazione: \({\displaystyle 0,9375\times 16=15}\). Infine si deve comporre il numero in sistema esadecimale: il 4 è indicato dal simbolo 4, il 15 dal simbolo F: 4F.

Un altro esempio:

FB3 in esadecimale corrisponde al numero 4019 in base decimale. Si ha

\({\displaystyle ({\rm {FB}}3)_{16}=F\times 16^{2}+B\times 16^{1}+3\times 16^{0}=15\times 16^{2}+11\times 16^{1}+3\times 16^{0}=}\)

\({\displaystyle =15\times 256+11\times 16+3\times 1=3840+176+3=4019.}\)

Viceversa, convertiamo 4019 in esadecimale:

4019:16 = 251 con resto 3.

Il quoziente 251 va di nuovo diviso per 16,

251:16 = 15 con resto 11,

Il quoziente 15 è minore della base 16 e il procedimento di divisione si arresta.

Si scrive il numero partendo dall'ultimo risultato ottenuto e si risale la successione dei resti. Il numero esadecimale è 15-11-3

cioè F-B-3

che si scrive FB3.

Sistema binario

La ragione per cui si adopera in informatica è che il sistema esadecimale può essere considerato come una scrittura più compatta del sistema binario. La conversione dalla base 16 alla base 2 e viceversa può essere svolta per sostituzione di gruppi di cifre invece che con algoritmi di divisione.

Ad esempio, si consideri il seguente numero in base 16: A16BC916. Per convertirlo in base 2, è sufficiente prelevare ciascuna cifra esadecimale e sostituirla con il suo equivalente nel sistema binario, come riportato nella colonna a destra della tabella iniziale. Seguendo questa procedura, si perviene al seguente risultato:

A16BC916 = A 1 6 B C 916
= 1010  0001  0110  1011  1100  10012
= 1010000101101011110010012

Per ottenere la conversione opposta, invece, bisogna procedere nella maniera inversa: si suddivide il numero binario in gruppi di 4 cifre a partire da destra (se l'ultimo gruppo contiene meno di 4 cifre, vanno anteposti tanti zeri quanti servono per completarlo) e si sostituisce ogni gruppo con il suo equivalente esadecimale. Supponiamo ad esempio di convertire in base 16 il numero in base 2: 1001011111110010112. Effettuando le operazioni descritte in precedenza si ha:

10 0101 1111 1100 10112 = 0010  0101  1111  1100  10112
= 2 5 F C B16
= 25FCB16

Frazioni


Il sistema esadecimale, come ogni sistema di numerazione posizionale, permette di rappresentare anche le frazioni, come numeri con la virgola: questi rappresentazioni possono essere limitate oppure illimitate periodiche, analogamente al caso decimale. Alcuni esempi:

1/2 = 0,8: numero esadecimale limitato
1/3 = 0,555... = \({\displaystyle 0,{\overline {5}}}\): numero esadecimale illimitato periodico
1/4 = 0,4
1/5 = 0,333... = \({\displaystyle 0,{\overline {3}}}\): periodico (semplice)
1/6 = 0,2AAA... = \({\displaystyle 0,2{\overline {A}}}\): periodico (misto)
1/8 = 0,2
1/A = 0,1999... = \({\displaystyle 0,1{\overline {9}}}\): periodico (misto)
1/C = 0,1555... = \({\displaystyle 0,1{\overline {5}}}\): periodico (misto)
1/F = 0,111... = \({\displaystyle 0,{\overline {1}}}\): periodico (semplice)

Poiché la base 16 è una potenza di 2, hanno una rappresentazione limitata solo le frazioni che hanno, come denominatore, una potenza di 2. Infatti le cifre si ripetono quando il denominatore contiene un fattore primo che non si trova nella base. Nel caso dei numeri esadecimali, questo si verifica se e solo se il denominatore non è una potenza di due. Di conseguenza le frazioni esadecimali periodiche sono più frequenti che nel caso decimale (10 ammette come fattori primi 2 e 5).

I numeri irrazionali sono rappresentabili come numeri esadecimali illimitati aperiodici, esattamente come avviene nel caso decimale.

Infine, analogamente al caso del periodo 9 in base 10, si ha: \({\displaystyle 0,{\rm {\overline {F}}}=1}\).

Note


  1. ^ Sistema esadecimale , su www.youmath.it. URL consultato il 17 dicembre 2018 (archiviato dall'url originale il 17 dicembre 2018).

Voci correlate


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Categorie: Sistemi di numerazione per base | Standard informatici




Data: 25.12.2020 10:01:33 CET

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