Gruppo abeliano


In matematica e in particolare in algebra astratta, un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa, ossia il gruppo \({\displaystyle (G,*)}\) è abeliano se

\({\displaystyle a*b=b*a,\quad \forall a,b\in G.}\)

Il nome deriva dal matematico norvegese Niels Henrik Abel. Se in un gruppo si vuole sottolineare che l'operazione non è commutativa, ci si riferisce a esso come gruppo non abeliano o gruppo non commutativo. La teoria dei gruppi abeliani è generalmente più semplice di quella dei gruppi non abeliani. In particolare i gruppi abeliani finiti sono ben conosciuti e completamente classificati.

Indice

Esempi


\({\displaystyle xy=g^{n}g^{m}=g^{n+m}=g^{m+n}=g^{m}g^{n}=yx.}\)

Proprietà


Questa particolare definizione si può applicare solo ai gruppi abeliani, infatti, se \({\displaystyle H}\) e \({\displaystyle G}\) non fossero abeliani, avremmo:

\({\displaystyle (f*g)(x*y):=f(x*y)*g(x*y)=f(x)*f(y)*g(x)*g(y)}\)

che differisce da

\({\displaystyle (f*g)(x)*(f*g)(y)=f(x)*g(x)*f(y)*g(y)}\)

per l'ordine dei fattori, dimostrando che \({\displaystyle f*g}\) non è un omomorfismo.

I gruppi abeliani, insieme con gli omomorfismi di gruppi, costituiscono una categoria che è una sottocategoria della categoria dei gruppi.

In un gruppo abeliano \({\displaystyle G}\) si può invertire il teorema di Lagrange, cioè se \({\displaystyle m}\) divide \({\displaystyle n=|G|,}\) allora esiste (almeno) un sottogruppo di ordine \({\displaystyle m.}\)

Gruppi abeliani finiti


I gruppi ciclici \({\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }\) degli interi modulo \({\displaystyle n}\) sono tra i primi esempi di gruppi abeliani finiti. In effetti ogni gruppo abeliano finito è isomorfo a una somma diretta di gruppi ciclici finiti di ordine una potenza di un primo e questi ordini sono univocamente determinati determinando un sistema completo di invarianti. Il gruppo degli automorfismi di un gruppo abeliano finito può essere descritto direttamente in termini di questi invarianti. La teoria è stata elaborata in un articolo del 1879 da Georg Frobenius e Ludwig Stickelberger. In seguito essa fu semplificata e generalizzata ai moduli finitamente generati su domini a ideali principali, formando un importante capitolo dell'algebra lineare.

Ogni gruppo di ordine primo è isomorfo a un gruppo ciclico ed è quindi abeliano. Ogni gruppo il cui ordine è un quadrato di un primo è abeliano.[1] In effetti per ogni numero primo \({\displaystyle p}\) ci sono, a meno di isomorfismo, esattamente due gruppi di ordine \({\displaystyle p^{2},}\) ossia il gruppo \({\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}\) e il gruppo \({\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}.}\)

Classificazione

Il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finiti afferma che ogni gruppo abeliano finito \({\displaystyle G}\) può essere espresso come somma diretta di sottogruppi ciclici di ordine una potenza di un primo; questo teorema è noto anche come teorema della base per gruppi abeliani finiti.[2] Esso è generato dal teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati, di cui i gruppi finiti sono un caso particolare, che ammette numerose ulteriori generalizzazioni.

Il teorema di classificazione è stato dimostrato da Leopold Kronecker nel 1870, sebbene non fu formulato in termini della moderna teoria dei gruppi fino a diverso tempo dopo.

Il gruppo ciclico \({\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}\) di ordine \({\displaystyle mn}\) è isomorfo alla somma diretta di \({\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}\) e \({\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}\) se e solo se \({\displaystyle m}\) e \({\displaystyle n}\) sono coprimi. Segue che ogni gruppo abeliano finito \({\displaystyle G}\) è isomorfo a una somma diretta della forma

\({\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\mathbb {Z} _{k_{i}}}\)

in uno dei seguenti modi canonici:

Per esempio \({\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}\) può essere espresso, usando la prima dicitura, come somma diretta di due sottogruppi di ordine 3 e 5: \({\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}\cong \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{5}.}\) Lo stesso è vero per ogni gruppo abeliano di ordine 15, quindi tutti i gruppi abeliani di ordine 15 sono isomorfi.

Altro esempio: ogni gruppo abeliano di ordine 8 è isomorfo o a \({\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}\) o a \({\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}\) o a \({\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}.}\)

Numero di gruppi abeliani finiti

Sebbene non esista una formula che esprima, per ogni \({\displaystyle n,}\) il numero di gruppi di ordine \({\displaystyle n,}\) essa tuttavia esiste nel caso di un gruppo abeliano: infatti, se

\({\displaystyle n=\prod _{i}p_{i}^{q_{i}},}\)

dove gli \({\displaystyle p_{i}}\) sono primi distinti, allora il numero di gruppi (non isomorfi tra loro) di ordine \({\displaystyle n}\) è

\({\displaystyle \prod _{i}P(q_{i}),}\)

dove \({\displaystyle P(x)}\) è la funzione di partizione di un intero; ossia la numerosità dei gruppi non dipende dai fattori primi di \({\displaystyle n}\) ma soltanto dai loro esponenti.

Note


  1. ^ Rose 2012, p. 79 .
  2. ^ Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54 .

Voci correlate


Collegamenti esterni


Controllo di autoritàThesaurus BNCF 5494  · NDL (ENJA00560040









Categorie: Teoria dei gruppi




Data: 27.11.2020 08:56:30 CET

Sorgente: Wikipedia (Autori [Cronologia])    Licenza: CC-BY-SA-3.0

Modifiche: Tutte le immagini e la maggior parte degli elementi di design correlati a questi sono stati rimossi. Alcune icone sono state sostituite da FontAwesome-Icons. Alcuni modelli sono stati rimossi (come "l'articolo ha bisogno di espansione) o assegnati (come" note "). Le classi CSS sono state rimosse o armonizzate.
Sono stati rimossi i collegamenti specifici di Wikipedia che non portano a un articolo o una categoria (come "Redlink", "collegamenti alla pagina di modifica", "collegamenti a portali"). Ogni collegamento esterno ha un'icona FontAwesome aggiuntiva. Oltre ad alcuni piccoli cambiamenti di design, sono stati rimossi i media container, le mappe, i box di navigazione, le versioni vocali e i geoformati.

Notare che Poiché il dato contenuto viene automaticamente prelevato da Wikipedia in un determinato momento, una verifica manuale è stata e non è possibile. Pertanto LinkFang.org non garantisce l'accuratezza e l'attualità del contenuto acquisito. Se ci sono informazioni che al momento sono sbagliate o che hanno una visualizzazione imprecisa, non esitate a Contattaci: e-mail.
Guarda anche: Impronta & Politica sulla riservatezza.