Piano (geometria)


Il piano è un concetto primitivo della geometria, ossia un concetto per il quale non esiste una definizione formale e che si suppone intuitivamente comprensibile e/o esperianzialmente acquisito, pertanto un'idea universalmente accettata e unica rappresentabile con oggetti concreti che fungono da esempio ma che per la loro sussistenza stessa non risolvono pienamente il concetto (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta).

Nel caso del piano per rappresentarlo idealmente si pensi a un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto, ma non è il foglio di carta sia perché questo ha uno spessore e un piano ideale non ne ha e sia perché non è possibile produrre o ritrovare un foglio di carta di dimensioni infinite.

In definitiva, esso:

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Indice

Piani nello spazio tridimensionale


L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\) è del tipo:

\({\displaystyle ax+by+cz+d=0,}\)

con \({\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} ,}\) e \({\displaystyle a,b,c}\) non tutti nulli.

Equazione cartesiana


Piano passante per tre punti

Siano \({\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}\) tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno e un solo piano \({\displaystyle \pi }\). Un punto \({\displaystyle P=(x,y,z)}\) appartiene al piano \({\displaystyle \pi }\) solo se il vettore \({\displaystyle P-P_{1}}\) è combinazione lineare dei vettori \({\displaystyle P_{2}-P_{1}}\) e \({\displaystyle P_{3}-P_{1}}\), ossia se

\({\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0.}\)

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

\({\displaystyle a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0,}\)

dove

\({\displaystyle a={\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;b=-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;c={\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{vmatrix}}.}\)

Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce \({\displaystyle \;d\;}\) come segue:

\({\displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),}\)

dove \({\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}\) è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra \({\displaystyle P_{1}}\), \({\displaystyle P_{2}}\) e \({\displaystyle P_{3}}\).

Posizioni reciproche di due piani


Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 2, il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità (\({\displaystyle \infty ^{1}}\)) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità (\({\displaystyle \infty ^{2}}\)) e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (parallelismo improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 0, il sistema risulta essere incompatibile e i piani sono paralleli e distinti (parallelismo proprio).

Distanza di un punto da un piano


È possibile calcolare la distanza di un punto \({\displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0})}\) da un piano \({\displaystyle \pi }\) utilizzando la seguente formula:

\({\displaystyle d(\pi ,P)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}\)

In particolare, se \({\displaystyle d(\pi ,P)=0}\), allora il punto \({\displaystyle P}\) appartiene al piano \({\displaystyle \pi }\).

Voci correlate


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Categorie: Geometria euclidea




Data: 27.11.2020 09:01:10 CET

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