Prodotto vettoriale


In matematica, in particolare nel calcolo vettoriale, il prodotto vettoriale è un'operazione binaria interna tra due vettori in uno spazio euclideo tridimensionale che restituisce un altro vettore che è normale al piano formato dai vettori di partenza.

Il prodotto vettoriale è indicato con il simbolo \({\displaystyle \times }\) o con il simbolo \({\displaystyle \wedge }\). Il secondo simbolo è però anche usato per indicare il prodotto esterno (o prodotto wedge) nell'algebra di Grassmann, di Clifford e nelle forme differenziali. Storicamente, il prodotto esterno è stato definito da Grassmann circa trent'anni prima che Gibbs e Heaviside definissero il prodotto vettoriale[1].

Indice

Definizione


Il prodotto vettoriale tra due vettori \({\displaystyle \mathbf {a} }\) e \({\displaystyle \mathbf {b} }\) in \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\) è definito come il vettore a loro perpendicolare:

\({\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\hat {\mathbf {n} }}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta }\)

dove \({\displaystyle 0<\theta <\pi }\) è l'angolo tra \({\displaystyle \mathbf {a} }\) e \({\displaystyle \mathbf {b} }\) e \({\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}\) è un versore normale al piano formato da \({\displaystyle \mathbf {a} }\) e \({\displaystyle \mathbf {b} }\), che fornisce la direzione del prodotto vettoriale. Si nota che il modulo \({\displaystyle |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta }\) del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma individuato dai due vettori \({\displaystyle \mathbf {a} }\) e \({\displaystyle \mathbf {b} }\).

Esplicitamente, detti \({\displaystyle \mathbf {i} }\), \({\displaystyle \mathbf {j} }\) e \({\displaystyle \mathbf {k} }\) i versori di una base ortonormale di \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\), il prodotto di \({\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}\) e \({\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}\) può essere scritto in tale base come il determinante di una matrice (con un abuso di notazione):

\({\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\\{a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\\\end{bmatrix}}=\\&=\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\mathbf {i} +\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\mathbf {j} +\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}\)

Poiché il prodotto vettoriale tra due vettori sotto trasformazioni di parità non si comporta come un vero vettore, ci si riferisce ad esso come a uno pseudovettore. Sono ad esempio degli pseudovettori (detti anche vettori assiali) il momento angolare, la velocità angolare, il campo magnetico.

Verso del prodotto vettoriale

Dal momento che vi sono due versori \({\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}\) e \({\displaystyle -{\hat {\mathbf {n} }}}\) perpendicolari sia ad \({\displaystyle \mathbf {a} }\) che a \({\displaystyle \mathbf {b} }\), convenzionalmente si sceglie \({\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}\) in modo tale che i vettori \({\displaystyle \mathbf {a} }\), \({\displaystyle \mathbf {b} }\) ed \({\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }\) siano orientati secondo un sistema destrogiro se il sistema di assi coordinati \({\displaystyle (\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} )}\) è destrogiro, oppure sinistrogiro se il sistema di assi è sinistrogiro. L'orientazione del versore \({\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}\) dipende quindi dall'orientazione dei vettori nello spazio, ovvero dalla chiralità del sistema di coordinate ortonormali.

Un modo semplice per determinare il verso del prodotto vettore è la «regola della mano destra». In un sistema destrogiro si punta il pollice nella direzione del primo vettore, l'indice in quella del secondo, il medio dà la direzione del prodotto vettore. In un sistema di riferimento sinistrogiro (terna sinistrorsa) basta invertire il verso del prodotto vettore, ovvero usare la mano sinistra.

Un altro semplice metodo è quello della "vite destrorsa". In un sistema destrogiro si simula il movimento di avvitatura o di svitatura di una vite destrorsa; guardato dall'alto, se ruotando il primo vettore verso il secondo la rotazione è oraria, la vite verrà avvitata e quindi il verso del vettore sarà rivolto verso il basso; viceversa, se si compie una rotazione antioraria, la vite sarà svitata ed il verso del vettore sarà rivolto verso l'alto.

Notazione con indici

Il prodotto vettoriale \({\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} }\) può essere definito in termini del tensore di Levi-Civita \({\displaystyle \varepsilon _{ijk}}\) come:

\({\displaystyle c_{k}=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}\)

dove gli indici \({\displaystyle i,j,k}\) sono le componenti ortogonali del vettore, usando la notazione di Einstein.

Proprietà


\({\displaystyle (k\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =k(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (k\mathbf {b} )}\)
\({\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {c} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} }\) (distributivo rispetto all'addizione)
\({\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} }\)
\({\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} }\)
\({\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} }\)
\({\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \qquad \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} \qquad \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} }\)

Prodotto triplo

Il prodotto triplo di tre vettori è definito come:

\({\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}\)

Si tratta del volume con segno del parallelepipedo con lati \({\displaystyle \mathbf {a} }\), \({\displaystyle \mathbf {b} }\) e \({\displaystyle \mathbf {c} }\), e tali vettori possono essere interscambiati:

\({\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}\)

Un altro prodotto a tre vettori, detto doppio prodotto vettoriale, è legato al prodotto scalare dalla formula:

\({\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}\)

Come caso speciale si ha:

\({\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} }\)

Si tratta di una relazione particolarmente utile nel calcolo differenziale, in quanto riguarda l'equivalenza tra il rotore doppio e la differenza fra il gradiente della divergenza \({\displaystyle \nabla (\nabla \cdot )}\) e il laplaciano \({\displaystyle \nabla ^{2}}\).

Un'altra relazione che lega il prodotto vettoriale con il prodotto triplo è:

\({\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} }\)

Mentre per:

\({\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} )\end{aligned}}}\)

e più in generale:

\({\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}\)

Identità di Lagrange

Un'utile identità è:

\({\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}\)

che può essere confrontata con l'identità di Lagrange espressa come:

\({\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}(\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2})=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}}\)

in cui \({\displaystyle \mathbf {a} }\) e \({\displaystyle \mathbf {b} }\) sono vettori n-dimensionali. Questo mostra che la forma di volume Riemanniana per le superfici è esattamente l'elemento di superficie del calcolo vettoriale. Nel caso tridimensionale, combinando le due precedenti relazioni si ottiene il modulo del prodotto vettoriale scritto attraverso le componenti:

\({\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq 3}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}}\)

Si tratta di un caso speciale delle moltiplicazione \({\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |=|\mathbf {v} ||\mathbf {w} |}\) della norma nell'algebra dei quaternioni.

Differenziazione

La regola di Leibniz si applica anche al prodotto vettoriale:

\({\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dx}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dx}}}\)

come si può dimostrare utilizzando la rappresentazione tramite moltiplicazione tra matrici.

Applicazioni


Il prodotto vettoriale è largamente adoperato anche in fisica e in ingegneria, oltre che in geometria e in algebra. Si riporta un elenco - non esaustivo - di alcune applicazioni.

Momento angolare e momento meccanico

Il momento angolare \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {L} }\) di un corpo è definito come:

\({\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,}\)

dove \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {p} }\) è il vettore quantità di moto, mentre \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} }\) è il vettore-posizione del corpo rispetto al polo di riferimento.

Analogamente, il momento di una forza [2] è definito come:

\({\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,}\)

dove \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} }\) è la forza applicata al punto individuato dal raggio vettore \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} }\).

Poiché posizione \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} }\), quantità di moto \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {p} }\) e forza \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} }\) sono tutti vettori polari, sia il momento angolare \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {L} }\) sia il momento meccanico \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {M} }\) sono pseudo-vettori o vettori assiali [3].

Corpo rigido

Il prodotto vettoriale compare anche nella descrizione dei moti di rotazione. Ad esempio, per due punti P e Q su un corpo rigido vale la seguente legge di trasporto delle velocità:

\({\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}=\mathbf {\omega } \times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}\)

dove \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} }\) è la posizione di un punto, \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }\) la sua velocità e \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\omega } }\) la velocità angolare del corpo rigido.

Poiché posizione \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {r} }\) e velocità \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }\) sono vettori polari, la velocità angolare \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\omega } }\) è uno pseudo-vettore. [3]

Forza di Lorentz

Lo stesso argomento in dettaglio: Forza di Lorentz.

Data una particella puntiforme, la forza elettromagnetica esercitata su di essa è pari a:

\({\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\,\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}\)

dove:

Si noti che la componente magnetica della forza è proporzionale al prodotto vettoriale tra \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }\) e \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {B} }\) , pertanto essa risulta sempre perpendicolare alla velocità \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }\) e non compie lavoro.

Poiché velocità \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }\), forza \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} }\) e campo elettrico \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {E} }\) sono tutti vettori polari, il campo magnetico \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {B} }\) è uno pseudo-vettore. [3]

Prodotto esterno


Lo stesso argomento in dettaglio: Algebra esterna.

Il prodotto esterno (prodotto wedge) di due vettori è un bivettore, cioè un elemento di piano orientato (analogamente ad un vettore che può essere visto come un elemento di linea orientato). Dati due vettori \({\displaystyle a}\) e \({\displaystyle b}\), il bivettore \({\displaystyle a\wedge b}\) è il parallelogramma orientato formato dai due vettori \({\displaystyle a}\) e \({\displaystyle b}\). Il prodotto vettoriale si ottiene considerando il duale di Hodge del bivettore \({\displaystyle a\wedge b}\):

\({\displaystyle a\times b=*(a\wedge b)}\)

che mappa bivettori in vettori. Si può pensare a tale prodotto come un elemento multidimensionale, che in tre dimensioni è un vettore, che è "perpendicolare" al bivettore.

Generalizzazioni


Non esiste un analogo del prodotto vettoriale in spazi di dimensione maggiore che restituisca un vettore. Il prodotto esterno, tuttavia, gode di proprietà molto simili, anche se produce un bivettore e non un vettore. Il duale di Hodge del prodotto wedge produce un vettore di \({\displaystyle n-2}\) componenti che è una naturale generalizzazione del prodotto vettoriale in dimensione arbitraria.

Algebre di Lie

Lo stesso argomento in dettaglio: Algebra di Lie.

Il prodotto vettoriale può essere visto come uno dei più semplici prodotti di Lie, ed è pertanto generalizzato dalle algebre di Lie, che sono assiomatizzate come prodotti binari soddisfacenti gli assiomi di multilinearità, antisimmetria e l'identità di Jacobi. Ad esempio, l'algebra di Heisenberg fornisce un'altra struttura di algebra di Lie su \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\). Nella base \({\displaystyle \{x,y,z\}}\) il prodotto è:

\({\displaystyle [x,y]=z\qquad [x,z]=[y,z]=0}\)

Estensioni multidimensionali

Un prodotto esterno per vettori 7-dimensionali può essere ottenuto similmente utilizzando gli ottonioni invece dei quaternioni. Invece non possono esistere altre estensioni del prodotto vettoriale che restituiscano un vettore [4], e ciò è collegato al fatto che le sole algebre di divisione normate sono quelle con dimensioni 1,2,4 e 8.

Se però si considera il risultato dell'operazione non più come un vettore o pseudovettore ma come una matrice, allora è possibile estendere l'idea di prodotto vettoriale in qualsiasi numero di dimensioni [5] [6] .

In meccanica, ad esempio, la velocità angolare può essere interpretata sia come uno pseudo-vettore \({\displaystyle \scriptstyle \omega }\) sia come una matrice antisimmetrica \({\displaystyle \scriptstyle \Omega }\). In quest'ultimo caso la legge di trasporto delle velocità per un corpo rigido sarà:

\({\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\Omega }\cdot \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}\)

dove \({\displaystyle \scriptstyle \Omega }\) è definita formalmente a partire dalla matrice di rotazione \({\displaystyle \scriptstyle R^{N\times N}}\) del corpo rigido:

\({\displaystyle \Omega \triangleq {\frac {dR}{dt}}R^{T}}\)

In ambito quantistico anche il momento angolare \({\displaystyle \scriptstyle L}\) viene spesso rappresentato con una matrice antisimmetrica [7], risultato di un prodotto tra posizione \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} }\) e quantità di moto \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {p} }\):

\({\displaystyle L_{ij}=x_{i}p_{j}-p_{i}x_{j}}\)

Dato che \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} }\) e \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {p} }\) possono avere un numero arbitrario \({\displaystyle \scriptstyle N}\) di componenti, questa forma di prodotto "vettoriale" (che pure non produce un vettore) si può generalizzare in qualsiasi dimensione, pur conservando l'interpretazione "fisica" dell'operazione stessa.

Algebra multilineare

Nel contesto dell'algebra multilineare il prodotto vettoriale può essere visto come un tensore (misto) di ordine (1,2), nello specifico una mappa bilineare, ottenuto da una forma di volume tridimensionale per innalzamento degli indici.

Simboli


Il prodotto vettoriale × è rappresentato come:

Note


  1. ^ Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis , talk at University of Louisville, 2002
  2. ^ Detto anche coppia o momento meccanico in ambito italiano. In inglese viene chiamato torque o moment of a force e quindi indicato con \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\tau } }\) o con \({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {M} }\)
  3. ^ a b c Sinteticamente, un vettore polare può essere associato ad una traslazione, mentre uno pseudovettore è associato ad una rotazione. Uno pseudovettore riflesso in uno specchio cambierà quindi "verso", (es.: da senso anti-orario a senso orario)
  4. ^ W.S. Massey, Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces, The American Mathematical Monthly, 1983
  5. ^ A.W. McDavid e C.D. McMullen,Generalizing Cross Products and Maxwell's Equations to Universal Extra Dimensions , ottobre 2006
  6. ^ C.A. Gonano e R.E. Zich Cross product in N Dimensions - the doublewedge product , agosto 2014
  7. ^ Più precisamente, tramite un tensore anti-simmetrico di ordine 2.

Bibliografia


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Data: 04.10.2021 08:20:45 CEST

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