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Un quadrato, in geometria, è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti (tutti di 90° cioè retti).
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).
Le diagonali di un quadrato sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:
Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).
Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:
L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:
ma si può calcolare anche come
Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.
Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.
Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli \({\displaystyle k{\frac {\pi }{2}}{\mbox{rad}}=k90^{\circ }{\mbox{ per }}k=0,1,2,3}\); naturalmente la rotazione di \({\displaystyle \,\pi }\) radianti è la simmetria centrale.
Il quadrato \({\displaystyle Q}\) di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:
Il suo bordo è quindi
Questo può essere anche descritto come
Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: \({\displaystyle Q:{\big |}ax+by|+|bx-ay|\leq 1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0}\)
Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate \({\displaystyle {\big (}x_{0},y_{0})}\) l'equazione diventa:
\({\displaystyle Q:{\big |}a(x-x_{0})+b(y-y_{0})|+|b(x-x_{0})-a(y-y_{0})|\leq 1}\)
da cui:
\({\displaystyle Q:{\big |}ax+by-ax_{0}-by_{0}|+|bx-ay-bx_{0}+ay_{0}|\leq 1}\)
ovvero nella forma più generale possibile:
\({\displaystyle Q:{\big |}ax+by+p|+|bx-ay+q|\leq 1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0}\)
Il cui bordo è quindi:
\({\displaystyle Q:{\big |}ax+by+p|+|bx-ay+q|=1,\quad \ a\neq \ 0\ \lor \ b\neq \ 0}\)
Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.
Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro. Esistono comunque "quadrati" nel piano iperbolico se si richiede solamente che i quattro angoli siano congruenti (ma non retti): per ogni numero reale \({\displaystyle \alpha }\) strettamente minore di \({\displaystyle \pi /2}\) esiste infatti un poligono con quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti pari a \({\displaystyle \alpha }\).
Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:
contiene immagini o altri file su quadrato , su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. | Controllo di autorità | LCCN (EN) sh85127084 · GND (DE) 4129044-6 |
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Categorie: Quadrilateri
