Retta proiettiva


In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, la retta proiettiva è un'estensione della retta, ottenuta aggiungendo il "punto all'infinito".

Nel caso della retta reale, si distingue dalla retta estesa, che è ottenuta aggiungendo due punti all'infinito, uno per ogni verso: \({\displaystyle +\infty }\) e \({\displaystyle -\infty }\).

A differenza della retta estesa, che è definita soltanto per i numeri reali, il concetto di retta proiettiva si applica poi su qualsiasi campo (ad esempio, il campo dei complessi), ed è la versione 1-dimensionale del concetto più generale di spazio proiettivo.

Indice

Definizione


Una definizione informale di retta proiettiva, dipendente da un campo \({\displaystyle K}\), potrebbe essere data aggiungendo semplicemente un punto a \({\displaystyle K}\), chiamato "infinito" o \({\displaystyle \infty }\). Una definizione di questo tipo non mostra però come questo nuovo punto debba essere considerato nella nuova struttura: si sceglie quindi (come in tutti gli spazi proiettivi) una definizione più formale ed omogenea, apparentemente molto diversa, che considera subito tutti i punti allo stesso livello. Le due descrizioni arrivano quindi a coincidere al momento in cui si deciderà che un dato punto è "quello all'infinito".

Quoziente

Sia \({\displaystyle K}\) un campo. La retta proiettiva su \({\displaystyle K}\) è definita a partire dal piano

\({\displaystyle K^{2}=\{(x,y)\ |\ x,y\in K\}}\)

rimuovendo l'origine \({\displaystyle (0,0)}\) e quozientando per la relazione d'equivalenza

\({\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (\lambda x_{1},\lambda y_{1})}\)

che identifica due punti ottenuti l'uno dall'altro tramite riscalamento per un fattore reale non nullo \({\displaystyle \lambda }\). In altre parole, identifica tutti i punti presenti su ogni singola retta passante per l'origine, esclusa l'origine stessa. Formalmente:

\({\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(K)={\big (}K^{2}\setminus \{(0,0)\}{\big )}/\sim .}\)

Coordinate omogenee

Come in ogni spazio proiettivo, ogni punto della retta proiettiva è quindi identificato da una coppia di coordinate omogenee

\({\displaystyle P=[x_{0},x_{1}]\,\!}\)

dove si intende che moltiplicando entrambi i valori \({\displaystyle x_{0}}\) e \({\displaystyle x_{1}}\) per un numero \({\displaystyle \lambda \neq 0}\) si ottiene lo stesso punto \({\displaystyle P}\):

\({\displaystyle P=[x_{0},x_{1}]=[\lambda x_{0},\lambda x_{1}].\,\!}\)

Punto all'infinito

Usando queste coordinate, è possibile ricavare la descrizione più familiare di retta proiettiva come unione di una retta normale \({\displaystyle K}\) e di un "punto all'infinito". Infatti

\({\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(K)=\{[1,0]\}\cup \{[x,1]\ |\ x\in K\}}\)

poiché a meno di riscalamento ogni coppia \({\displaystyle [x_{0},x_{1}]}\) può essere espressa unicamente in uno dei modi descritti. In questa descrizione, il "punto all'infinito" è \({\displaystyle [1,0]}\). Ogni punto della retta proiettiva può però essere identificato come "punto all'infinito" in una opportuna descrizione.

Esempi


Caso reale

Se \({\displaystyle K=\mathbb {R} }\) è il campo dei numeri reali, la retta proiettiva è ottenuta aggiungendo un punto all'infinito alla retta reale. Dal punto di vista topologico, lo spazio che si ottiene è una circonferenza.

Caso complesso

Il caso complesso risulta essere di notevole interesse in matematica e in geometria. La retta proiettiva complessa \({\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}\) è ottenuta aggiungendo un punto al piano complesso. Topologicamente, come si evince dalla proiezione stereografica, è una sfera, detta sfera di Riemann. La sfera di Riemann è un oggetto importante, che ha molti collegamenti con vari ambiti della geometria: è centrale infatti sia nella geometria proiettiva che nella differenziale.

Campi finiti

La definizione è ovviamente valida anche nel caso in cui il campo \({\displaystyle K}\) sia un campo finito, con \({\displaystyle n}\) elementi. In questo caso, la retta proiettiva consta di \({\displaystyle n+1}\) elementi.

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Categorie: Geometria proiettiva




Data: 05.10.2021 09:50:00 CEST

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