Simmetria centrale


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In matematica, e più precisamente in geometria, una simmetria centrale è una trasformazione (della retta, del piano o dello spazio) che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato (della retta, del piano o dello spazio), detto centro di simmetria. La simmetria centrale coincide con la rotazione di 180° rispetto al centro di simmetria.

Indice

Geometria euclidea piana


Nel piano euclideo, due punti \({\displaystyle A}\) e \({\displaystyle A'}\) si dicono simmetrici rispetto a un punto \({\displaystyle O}\) quando \({\displaystyle O}\) è il punto medio del segmento \({\displaystyle AA'.}\) Il punto \({\displaystyle A'}\) si dice il simmetrico di \({\displaystyle A}\) rispetto a \({\displaystyle O}\) e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto \({\displaystyle A}\) il punto \({\displaystyle A'}\) suo simmetrico, e viceversa, si dice simmetria centrale di centro \({\displaystyle O.}\)

La simmetria centrale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione \({\displaystyle \sigma _{O}}\) per indicare la simmetria centrale di centro \({\displaystyle O;}\) il simmetrico di \({\displaystyle A}\) si scrive \({\displaystyle A'=\sigma _{O}(A)}\).

La simmetria centrale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con sé stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria centrale è un'isometria di tipo diretto, cioè mantiene l'orientazione degli oggetti; ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il verso di percorrenza dei lati di un triangolo, ecc.

La simmetria centrale in coordinate cartesiane

Nel piano cartesiano \({\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}\), la simmetria centrale di centro \({\displaystyle O(x_{0},y_{0})}\) è una corrispondenza biunivoca

\({\displaystyle (x,y)\mapsto (x',y')}\)

definita nel modo seguente:

\({\displaystyle {\begin{cases}x'=-x+2x_{0}\\y'=-y+2y_{0}.\end{cases}}}\)

L'espressione si estende in dimensione più alta. Nello spazio euclideo \({\displaystyle n}\)-dimensionale \({\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}\), la simmetria di centro \({\displaystyle O(x_{01},x_{02},\ldots ,x_{0n})}\) è descritta come

\({\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{O}\colon \mathbb {R} ^{n}&\to \mathbb {R} ^{n}\\(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\mapsto (x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}'),\end{aligned}}}\)

dove

\({\displaystyle x_{k}'=-x_{k}+2\,x_{0k},\quad k=1,2,\ldots ,n.}\)

Scrittura matriciale

Figure simmetriche


Esempi di figure geometriche con simmetria centrale sono alcuni poligoni circoscrivibili, come il quadrato.

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Categorie: Trasformazioni geometriche | Operatori lineari | Simmetria




Data: 14.04.2022 02:01:29 CEST

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