Struttura algebrica


In matematica, una struttura algebrica è un insieme \({\displaystyle S}\), chiamato insieme sostegno (della struttura), munito di una o più operazioni, ciascuna con la propria arietà: nullarie, unarie, binarie, ecc., e che sono caratterizzate dal poter avere proprietà quali commutatività, associatività e distributività. Nella pratica della matematica (e in particolare nell'algebra, nella combinatoria e nella geometria) e in alcune sue applicazioni (fisica, chimica, informatica, ...) si utilizzano svariate strutture algebriche. Risulta quindi opportuno studiare le strutture algebriche con sistematicità, classificarne i diversi tipi e chiarire le relazioni che le collegano.

In linea generale un insieme sostegno può essere munito di diverse operazioni e per individuare una struttura algebrica senza incorrere in possibili ambiguità, vanno specificate tutte le sue operazioni. Per esempio per specificare la struttura ordinaria di gruppo additivo sull'insieme \({\displaystyle \mathbb {Z} }\) dei numeri interi, si può ricorrere alla notazione \({\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,0,-)}\), ove \({\displaystyle +}\) è la somma usuale, \({\displaystyle 0}\) è lo zero come operazione nullaria, e \({\displaystyle -}\) indica l'operazione unaria che a un intero associa il suo opposto. Nella pratica però le operazioni sono spesso sottintese, e si parla semplicemente del gruppo additivo \({\displaystyle \mathbb {Z} }\).

Indice

Un elenco di specie di strutture algebriche


Strutture simili ai gruppi

Strutture simili ai reticoli

Strutture simili agli anelli

Strutture simili agli spazi vettoriali

Strutture simili alle algebre

Sottostrutture, morfismi e composizioni


Con sottostruttura si intende un sottoinsieme di una struttura algebrica chiuso rispetto alle operazioni della struttura. Con le operazioni indotte, una sottostruttura può essere considerata una struttura algebrica a sé stante della stessa specie di quella di partenza (o di una sua sottospecie particolare).

Ad ogni specie di struttura algebrica sono associate particolari funzioni, gli omomorfismi, che preservano le operazioni delle strutture.

Due strutture della stessa specie possono essere composte per dare una struttura più complessa della stessa specie: lo studio di queste composizioni, che tipicamente hanno come sostegno il prodotto cartesiano dei sostegni delle strutture sottoposte a composizione, costituisce il primo passo per la classificazione delle strutture di una specie.

Le proprietà generali delle strutture algebriche collegate ai loro omomorfismi sono studiate come caso particolare nella teoria delle categorie.

Bibliografia


Voci correlate


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Categorie: Strutture algebriche




Data: 27.11.2020 08:13:36 CET

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