Teorema degli zeri di Hilbert

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Il teorema degli zeri di Hilbert o Nullstellensatz (letteralmente "teorema dei luoghi di zeri" in tedesco) è un teorema dell'algebra commutativa (fondamentale in geometria algebrica) che mette in relazione insiemi algebrici e ideali negli anelli dei polinomi su campi algebricamente chiusi. Fu dimostrato per la prima volta da David Hilbert.

Sia \({\displaystyle K}\) un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi); si consideri l'anello dei polinomi \({\displaystyle K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}\) e sia \({\displaystyle I}\) un ideale in questo anello. L'insieme algebrico \({\displaystyle V(I)}\) definito da questo ideale consiste di tutte le \({\displaystyle n}\)-uple \({\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}\) in \({\displaystyle K^{n}}\) tali che \({\displaystyle f(\mathbf {x} )=0}\) per tutti gli \({\displaystyle f}\) in \({\displaystyle I}\). Il teorema degli zeri di Hilbert afferma che se \({\displaystyle p}\) è un qualche polinomio in \({\displaystyle K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}\) che si annulla sull'insieme algebrico \({\displaystyle V(I)}\), cioè \({\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}\) per tutti gli \({\displaystyle \mathbf {x} }\) in \({\displaystyle V(I)}\), allora esiste un numero naturale \({\displaystyle r}\) tale che \({\displaystyle p^{r}}\) è in \({\displaystyle I}\).

Un corollario immediato è il "Nullstellensatz debole": se \({\displaystyle I}\) è un ideale proprio in \({\displaystyle K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}\), allora \({\displaystyle V(I)}\) non può essere vuoto, cioè esiste uno zero comune per tutti i polinomi dell'ideale. O equivalentemente: i polinomi dell'ideale hanno uno zero comune se e solo se l'ideale non contiene \({\displaystyle 1}\). Questa è la ragione del nome del teorema, che può essere facilmente dimostrato a partire dalla forma 'debole'. Si noti che l'assunzione che \({\displaystyle K}\) sia algebricamente chiuso è essenziale qui: l'ideale proprio \({\displaystyle (X^{2}+1)}\) in \({\displaystyle \mathbb {R} [X]}\) non ha uno zero comune.

Con la notazione comune in geometria algebrica, il Nullstellensatz può anche essere formulato come

\({\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}},}\)

per ogni ideale \({\displaystyle J}\). Qui, \({\displaystyle {\sqrt {J}}}\) denota il radicale di \({\displaystyle J}\) e \({\displaystyle I(U)}\) è l'ideale di tutti i polinomi che si annullano sull'insieme \({\displaystyle U}\). In questo modo, otteniamo una corrispondenza biunivoca che inverte l'ordine di inclusione tra gli insiemi algebrici in \({\displaystyle K^{n}}\) e gli ideali radicali di \({\displaystyle K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}\).

Categorie: Algebra commutativa | Geometria algebrica