Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)


In teoria dei gruppi, il teorema di Lagrange è un teorema basilare nello studio dei gruppi finiti. Afferma che l'ordine (cioè il numero di elementi) di un sottogruppo di un gruppo finito è un divisore dell'ordine del gruppo.

Prende il nome da Joseph-Louis Lagrange.

Indice

Dimostrazione


La prima parte della dimostrazione si applica a qualsiasi gruppo \({\displaystyle G}\) e a un suo sottogruppo \({\displaystyle H}\). Si considera l'insieme

\({\displaystyle \{aH:a\in G\}}\)

delle classi laterali (sinistre)

\({\displaystyle aH=\{ah:h\in H\}}\)

di \({\displaystyle H}\) in \({\displaystyle G}\); questo forma una partizione di \({\displaystyle G}\), ovvero \({\displaystyle G}\) è unione delle classi laterali, e due classi laterali distinte non hanno elementi in comune. Inoltre per ogni \({\displaystyle a\in G}\) la funzione \({\displaystyle H\to aH}\) che manda \({\displaystyle h\in H}\) in \({\displaystyle ah}\) è una biezione.

Nel caso in cui \({\displaystyle G}\) sia finito, ogni classe laterale ha dunque ordine eguale all'ordine \({\displaystyle |H|}\) di \({\displaystyle H}\). Se si denota con \({\displaystyle [G:H]}\) l'indice di \({\displaystyle H}\) in \({\displaystyle G}\) (ovvero il numero di classi laterali distinte) si ha quindi

\({\displaystyle |G|=|H|\cdot [G:H].}\)

In particolare, l'ordine \({\displaystyle |H|}\) di \({\displaystyle H}\) divide l'ordine \({\displaystyle |G|}\) di \({\displaystyle G}\).

Conseguenze


Dal teorema di Lagrange segue che, se \({\displaystyle G}\) è un gruppo finito, l'ordine di ogni suo elemento \({\displaystyle a}\) (ovvero il più piccolo intero positivo \({\displaystyle m}\) tale che \({\displaystyle a^{m}}\) sia l'identità) divide l'ordine di \({\displaystyle G}\): questo segue dal fatto che l'ordine di \({\displaystyle a}\) coincide con l'ordine del sottogruppo ciclico generato da \({\displaystyle a}\). Un'altra conseguenza è che, se l'ordine di un gruppo è un numero primo, allora esso è ciclico, generato da un qualsiasi elemento diverso dall'identità. Più in generale, il teorema è un primo passo nello studio della struttura dei gruppi finiti.

Un ulteriore corollario del teorema è che per ogni \({\displaystyle a\in G}\) vale \({\displaystyle a^{|G|}=e}\), dove \({\displaystyle e}\) indica l'identità in \({\displaystyle G}\). Esso si traduce nel piccolo teorema di Fermat se \({\displaystyle p}\) è un primo e \({\displaystyle G=(\mathbb {Z} /{p\mathbb {Z} })^{*}}\), il gruppo moltiplicativo degli interi invertibili modulo \({\displaystyle p}\), nel teorema di Eulero-Fermat se \({\displaystyle G=(\mathbb {Z} /{m\mathbb {Z} })^{*}}\), con \({\displaystyle m}\) un intero qualsiasi.

Viceversa


In generale, l'inverso del teorema di Lagrange non vale; ovvero, se \({\displaystyle m}\) è un intero positivo che divide l'ordine di \({\displaystyle G}\), non è detto che \({\displaystyle G}\) abbia un sottogruppo di ordine \({\displaystyle m}\). Per esempio, il gruppo alterno \({\displaystyle A_{4}}\) ha ordine 12, ma non ha sottogruppi di ordine 6. Lo stesso vale per ogni gruppo semplice finito di ordine \({\displaystyle 2n}\) pari: infatti, un sottogruppo di ordine \({\displaystyle n}\) sarebbe normale, contro l'ipotesi che il gruppo è semplice.

L'inverso vale però se \({\displaystyle m}\) è la potenza di un primo: questo risultato è uno dei teoremi di Sylow. Un altro caso in cui il teorema di Lagrange si inverte è quando il gruppo \({\displaystyle G}\) è abeliano o, più in generale, quando è nilpotente. Nel caso abeliano, grazie al teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati, si può dimostrare che esiste sempre un sottogruppo di ogni ordine possibile (ossia deve dividere l'ordine del gruppo).

Bibliografia











Categorie: Teoremi dell'algebra | Teoria dei gruppi




Data: 02.03.2021 01:05:33 CET

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