Teorema di Rouché-Capelli


Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di caratterizzare l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari (eventualmente vuoto) mediante il rango della matrice completa e della matrice incompleta.

Prende il nome dal matematico francese Eugène Rouché, suo ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in maniera più semplice. A questo teorema, che ha interesse prevalentemente didattico, vengono anche associati i nomi di Fontené, Kronecker e Frobenius.

Indice

Il teorema di Rouché-Capelli


Consideriamo il sistema di equazioni lineari:

\({\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\\\end{matrix}}\right.}\)

nel quale i coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) e le componenti dei vettori sono elementi di un campo \({\displaystyle K}\), quale ad esempio quello dei numeri reali \({\displaystyle \mathbb {R} }\) o complessi \({\displaystyle \mathbb {C} }\).

Il sistema è rappresentato fedelmente dalla matrice:

\({\displaystyle (A|\mathbf {b} )=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)}\)

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice \({\displaystyle A}\) dei coefficienti e di un'ulteriore colonna \({\displaystyle \mathbf {b} }\), detta colonna dei termini noti. Le matrici \({\displaystyle A}\) e \({\displaystyle (A|\mathbf {b} )}\) sono dette rispettivamente incompleta e completa.

Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:

\({\displaystyle \operatorname {rk} (A|\mathbf {b} )=\operatorname {rk} (A|\mathbf {0} )}\)

Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di \({\displaystyle K^{n}}\) di dimensione \({\displaystyle n-\operatorname {rk} (A)}\). In particolare, se il campo \({\displaystyle K}\) è infinito si ha che se \({\displaystyle \operatorname {rk} (A)=n}\) allora la soluzione è unica, altrimenti esistono infinite soluzioni.[1]
Valgono le seguenti due relazioni:

dove \({\displaystyle n}\) è il numero di incognite, e \({\displaystyle m}\) è il numero di equazioni del sistema.

Dimostrazione


Il sistema può essere descritto in modo più compatto, introducendo il vettore delle coordinate:

\({\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}\)

ed usando il prodotto fra matrici e vettori, nel modo seguente:

\({\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }\)

Questa relazione dice che un vettore noto \({\displaystyle \mathbf {b} }\) si vuole sia l'immagine di un vettore incognito \({\displaystyle \mathbf {x} }\) ottenuta mediante l'applicazione lineare \({\displaystyle L_{A}:K^{n}\to K^{m}}\) associata alla matrice dei coefficienti:

\({\displaystyle L_{A}(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }\)

Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se \({\displaystyle \mathbf {b} }\) è l'immagine di almeno un vettore \({\displaystyle \mathbf {x} }\) di \({\displaystyle K^{n}}\), ovvero se e solo se fa parte dell'immagine di \({\displaystyle L_{A}}\). Si osserva che l'immagine di \({\displaystyle L_{A}}\) è generata linearmente dai vettori dati dalle colonne di \({\displaystyle A}\). Quindi \({\displaystyle \mathbf {b} }\) è contenuto nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di \({\displaystyle A}\) contiene \({\displaystyle b}\), cioè se e solo se lo span delle colonne di \({\displaystyle A}\) è uguale allo span delle colonne di \({\displaystyle (A|\mathbf {b} )}\). Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.

Se esiste una soluzione \({\displaystyle \mathbf {x} _{0}}\), ogni altra soluzione si scrive come \({\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} }\), dove \({\displaystyle \mathbf {v} }\) è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:[2]

\({\displaystyle A\mathbf {v} =0}\)

Infatti:

\({\displaystyle A(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} )=A\mathbf {x} _{0}+A\mathbf {v} =\mathbf {b} +\mathbf {0} =\mathbf {b} \ }\)

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore \({\displaystyle \mathbf {x} _{0}}\), è quindi il sottospazio affine dato da:

\({\displaystyle \operatorname {Sol} (A|\mathbf {b} )=\mathbf {x} _{0}+\operatorname {Sol} (A|\mathbf {0} )}\)

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.[3]

Le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato sono il nucleo dell'applicazione \({\displaystyle L_{A}}\), e per il teorema della dimensione il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione \({\displaystyle n-\operatorname {rk} (A)}\). Quindi lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore \({\displaystyle x}\), è un sottospazio affine della stessa dimensione.

Note


  1. ^ Il fatto che le soluzioni formano un sottospazio affine di dimensione \({\displaystyle n-\operatorname {rk} (A)}\) si esprime anche dicendo che queste hanno \({\displaystyle n-\operatorname {rk} (A)}\) gradi di libertà. Alcuni testi sintetizzano questo fatto scrivendo, con abuso di notazione, che ci sono \({\displaystyle \infty ^{n-\operatorname {rk} (A)}}\) soluzioni.
  2. ^ S. Lang, Pag. 177.
  3. ^ S. Lang, Pag. 178.

Bibliografia


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Categorie: Teoremi dell'algebra lineare




Data: 17.03.2022 05:47:55 CET

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