Teoria delle categorie

La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica. Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e della fisica matematica costituendo una nozione unificante. Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni.

Categorie

Definizione

Una categoria \({\displaystyle {\mathcal {C}}}\) consiste di quanto segue.

Una classe \({\displaystyle {\text{ob}}({\mathcal {C}})}\) i cui elementi sono chiamati oggetti.
Una classe \({\displaystyle {\text{mor}}({\mathcal {C}})}\) i cui elementi sono chiamati morfismi, mappe o frecce. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente \({\displaystyle a}\) e un unico oggetto destinazione \({\displaystyle b}\) in \({\displaystyle {\text{ob}}({\mathcal {C}})}\). La scrittura \({\displaystyle f:a\to b}\) indica che \({\displaystyle f}\) è un morfismo con sorgente \({\displaystyle a}\) e destinazione \({\displaystyle b}\). L'insieme dei morfismi da \({\displaystyle a}\) a \({\displaystyle b}\) è indicato con \({\displaystyle {\text{mor}}(a,b)}\).
Per ogni terna di oggetti \({\displaystyle a}\), \({\displaystyle b}\) e \({\displaystyle c}\) di \({\displaystyle {\mathcal {C}}}\), è definita una funzione \({\displaystyle {\text{mor}}(b,c)\times {\text{mor}}(a,b)\to {\text{mor}}(a,c)}\), chiamata composizione di morfismi. La composizione di \({\displaystyle f:b\to c}\) con \({\displaystyle g:a\to b}\) si indica con \({\displaystyle f\circ g:a\to c}\) (talvolta si indica semplicemente \({\displaystyle fg}\)).

La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:

(associatività) se \({\displaystyle f:a\to b}\), \({\displaystyle g:b\to c}\) e \({\displaystyle h:c\to d}\), allora \({\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}\)
(identità) per ogni oggetto \({\displaystyle x}\) esiste un morfismo \({\displaystyle {\text{id}}_{x}:x\to x}\), chiamato morfismo identità su \({\displaystyle x}\), tale che per ogni morfismo \({\displaystyle f:a\to x}\) vale \({\displaystyle {\text{id}}_{x}\circ f=f}\) e per ogni morfismo \({\displaystyle g:x\to b}\) si ha \({\displaystyle g\circ {\text{id}}_{x}=g}\).

Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe degli oggetti è un insieme e grande se è una classe propria. Molte importanti categorie sono grandi.

Esempi

Negli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.

Gli insiemi e le funzioni tra essi
I monoidi e gli omomorfismi tra essi
I gruppi coi loro omomorfismi
Gli spazi vettoriali e le funzioni lineari
Gli spazi topologici e le funzioni continue
Gli spazi misurabili e le funzioni misurabili
Le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili

Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto \({\displaystyle X}\) (il monoide stesso) avendo come morfismi le traslazioni associate agli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide).
Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità.
Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale \({\displaystyle C^{*}}\) che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme \({\displaystyle Mor(A,B)}\) diventa l'insieme \({\displaystyle Mor(B,A)}\)).
Se (C,o') e (D,o") sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie (c,d) aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente: \({\displaystyle (c_{1},d_{1})\circ (c_{2},d_{2}):=(c_{1}\circ 'c_{2}\,,\,d_{1}\circ ''d_{2})}\).

Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.

Tipi di morfismi

Un morfismo f: A → B si chiama

monomorfismo se \({\displaystyle fg_{1}=fg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}}\) per tutti i morfismi \({\displaystyle g_{1},g_{2}:X\rightarrow A}\).
epimorfismo se g₁f = g₂f implica g₁ = g₂ per tutti i morfismi g₁, g₂ : B → X.
isomorfismo se esiste un morfismo g : B → A con fg = id_B e gf = id_A.
endomorfismo se A = B.
automorfismo se f è insieme un endomorfismo e un isomorfismo.

Funtori

Lo stesso argomento in dettaglio: Funtore (matematica).

I funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

F(id_X) = id_F(X) per ogni oggetto X in C.
F(g \({\displaystyle \circ }\) f) = F(g) \({\displaystyle \circ }\) F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.

Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C^* a D è contravariante.

Trasformazioni e Isomorfismi naturali

Due funtori F, G : C → D ci danno due rappresentazioni di C in D. Una trasformazione naturale è una associazione che permette di "tradurre" l'immagine che ne dà F in quella che ne dà G.

Se F e G sono funtori (covarianti) tra le categorie C e D, allora una trasformazione naturale da F a G associa a ogni oggetto X di C un morfismo η_X : F(X) → G(X) in D tale che per ogni morfismo f : X → Y in C abbiamo η_Y \({\displaystyle _{\circ }}\) F(f) = G(f) \({\displaystyle _{\circ }}\) η_X; vale a dire che η rende commutativo il diagramma

I due funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che η_X sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.

Bibliografia

(EN) Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker (1990): Abstract and Concrete Categories , John Wiley & Sons ISBN 0-471-60922-6
(EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra I. Basic Category Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44178-1
(EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra II. Categories and Structures, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44179-X
(EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra III. Categories of Sheaves, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44180-3
(EN) Robert Goldblatt (1984): Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover
William Lawvere, Steve Schanuel (1994): Teoria delle categorie: un'introduzione alla matematica, Franco Muzzio
(EN) William Lawvere, Steve Schanuel (1997): Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press
(EN) Saunders Mac Lane (1998): Categories for the Working Mathematician (seconda edizione), Springer ISBN 0-387-98403-8
(EN) Michael Barr, Charles Wells (2002): Toposes, Triples and Theories

Voci correlate

Progetto:Matematica/Elenco di voci sulla teoria delle categorie
Funtore (matematica)
Diagramma commutativo
Gruppoide (teoria delle categorie)
Categoria monoidale
Categoria abeliana
Lemma di Yoneda

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Jean-Pierre Marquis, Category Theory , in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.
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Categorie: Teoria delle categorie

Data: 06.10.2021 09:30:01 CEST

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