Unità di misura di Planck


Nella fisica delle particelle e nella cosmologia fisica, le unità di Planck sono un insieme di unità di misura definite esclusivamente in termini di cinque costanti fisiche universali, in modo tale che queste cinque costanti fisiche assumano il valore numerico di 1 quando espresse in termini di queste unità.

Originariamente proposte nel 1899 dal fisico tedesco Max Planck, queste unità sono anche conosciute come unità naturali perché l'origine della loro definizione deriva solo da proprietà della natura e non da alcun costrutto umano (ad esempio intensità luminosa (cd), flusso luminoso (lm), e dose equivalente (Sv) né qualsiasi qualità della terra o dell'universo (ad esempio gravità standard, atmosfera standard e costante di Hubble) né qualsiasi qualità di una data sostanza (ad esempio punto di fusione dell'acqua, densità dell'acqua e capacità termica specifica dell'acqua). Le unità Planck sono solo un sistema di più sistemi di unità naturali, ma le unità Planck non si basano sulle proprietà di alcun oggetto prototipo o particella (ad es. Carica elementare, massa di riposo dell'elettrone e massa di riposo del protone) (che sarebbe scelta arbitrariamente), ma piuttosto solo sulle proprietà dello spazio libero (ad esempio, La velocità di Planck è la velocità della luce, il momento angolare di Planck è la ridotta costante di Planck, la resistenza di Planck è l'impedenza di spazio libero, l'entropia di Planck è la costante di Boltzmann, tutti sono proprietà dello spazio libero). Le unità di Planck hanno significato per la fisica teorica poiché semplificano diverse espressioni algebriche ricorrenti della legge fisica mediante la non dimensionalizzazione. Sono rilevanti nella ricerca su teorie unificate come la gravità quantistica.

Il termine scala di Planck si riferisce alle magnitudini di spazio, tempo, energia e altre unità, al di sotto delle quali (o oltre le quali) le previsioni del Modello standard, la teoria dei campi quantistici e la relatività generale non sono più riconciliabili, e si prevedono effetti quantistici della gravità dominare. Questa regione può essere caratterizzata da energie intorno a 5,52×108 J o 1,96×109 J (chiamate appunto energia di Planck), intervalli di tempo intorno a 1,91×10−43 s o 5,39×10−44 s (tempo di Planck) e lunghezze intorno a 5,73×10−35 m 1,62×10−35 m (lunghezza di Planck). Su scala Planck, non ci si aspetta che i modelli attuali siano una guida utile al cosmo, e i fisici non hanno un modello scientifico per suggerire come si comporta l'universo fisico. L'esempio più noto è rappresentato dalle condizioni nei primi 1×10−43 secondi del nostro universo dopo il Big Bang, circa 13,800 miliardi di anni fa. Nel nuovo 2019 CODATA da NIST si prevede di usare le unità di Planck come future unità di sostituzione dei prototipi attuali internazionali di riferimento.

Esistono due versioni delle unità di Planck, la versione di Lorentz – Heaviside (chiamata anche "razionalizzata") e la versione gaussiana (chiamata anche "non razionalizzata").

Le cinque costanti universali che le unità di Planck, per definizione, normalizzano a 1 sono:

Ciascuna di queste costanti può essere associata a una teoria o concetto fisico fondamentale:

c con relatività speciale,

G con relatività generale,

ħ con meccanica quantistica,

ε0 con elettromagnetismo,

kB con le nozione dell'entropia, cioè temperatura / energia (meccanica statistica e termodinamica).

Indice

Introduzione


A qualsiasi sistema di misura può essere assegnato un insieme reciprocamente indipendente di quantità di base e unità di base associate, da cui possono derivare tutte le altre quantità e unità. Nel Sistema internazionale di unità, ad esempio, le quantità di base SI includono la lunghezza con l'unità associata del misuratore. Nel sistema di unità Planck, è possibile selezionare un insieme simile di quantità di base e l'unità di base Planck di lunghezza è quindi nota semplicemente come lunghezza di Planck, l'unità di base del tempo è il tempo di Planck e così via. Queste unità sono derivate dalle costanti fisiche universali a cinque dimensioni della Tabella 1, in modo tale che queste costanti vengano eliminate dalle equazioni fondamentali fondamentali della legge fisica quando le quantità fisiche sono espresse in termini di unità di Planck. Ad esempio, la legge di gravitazione universale di Newton

\({\displaystyle {\begin{aligned}F&=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\\\\&=\left({\frac {F_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{m_{\text{P}}^{2}}}\right){\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\\\end{aligned}}}\)

può essere espressa come:

\({\displaystyle {\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left({\dfrac {m_{1}}{m_{\text{P}}}}\right)\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\right)^{2}}}.}\)

Entrambe le equazioni sono dimensionalmente coerenti e ugualmente valide in qualsiasi sistema di unità, ma la seconda equazione, con G mancante, riguarda solo le quantità senza dimensioni poiché qualsiasi rapporto tra due quantità con dimensioni simili è una quantità senza dimensioni. Se, secondo una convenzione abbreviata, si comprende che tutte le quantità fisiche sono espresse in termini di unità di Planck, i rapporti di cui sopra possono essere espressi semplicemente con i simboli della quantità fisica, senza essere esplicitamente ridimensionati dalla loro unità corrispondente:

\({\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ .}\)

Quest'ultima equazione (senza G) è valida solo se F, m 1, m 2 e r sono i valori numerici senza dimensioni di queste quantità misurate in termini di unità di Planck. Questo è il motivo per cui le unità Planck o qualsiasi altro uso di unità naturali devono essere impiegati con cura. Riferendosi a G = c = 1, Paul S. Wesson scrisse che "Matematicamente è un trucco accettabile che salva il lavoro. Fisicamente rappresenta una perdita di informazioni e può creare confusione."[1]

Definizione


In fisica, le unità di misura di Planck sono un particolare sistema di unità naturali, in cui cinque costanti hanno valore unitario:

Tabella 1: Unità universali dal 2018 CODATA normalizzate alle unità di Planck
Costante Simbolo Dimensioni fisiche Valore Teorie associate
Velocità della luce nel vuoto \({\displaystyle {c}\ }\) L T−1 299 792 458 m/s[2](esatta per definizione) Elettromagnetismo

Relatività ristretta

Costante gravitazionale \({\displaystyle {G}\ }\) M−1L3T−2 6,674 30 (15) × 10−11 m3kg−1s−2[3] Relatività Generale

Gravità Newtoniana

"Costante di Planck ridotta" o costante di Dirac \({\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}\) dove \({\displaystyle {h}\ }\) è la costante di Planck M L2T−1 1,054 571 817... × 10−34 Js[4](esatta per definizione da h = 6,626 070 15 × 10−34 J⋅s) Meccanica quantistica
Costante della forza di Coulomb \({\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}\) dove \({\displaystyle {\varepsilon _{0}}\ }\) è la costante dielettrica nel vuoto M L3 T−2 Q−2 8,987 551 792 3 (14) × 109 kgm3s−4A−2[5] Elettrostatica
Costante di Boltzmann \({\displaystyle {k_{B}}\ }\) M L2T−2Θ−1 1,380 649 × 10−23 JK−1[6](esatta per definizione) Termodinamica

Meccanica statistica

Località di Panck, seconda radiazione costante \({\displaystyle C_{2}={\frac {h\,c}{k_{B}}}}\) L Θ 0,01438777 mK Termodinamica

Meccanica statistica

Elettromagnetismo

Costante di Stefan-Boltzmann \({\displaystyle \sigma ={\frac {{\pi }^{2}{k}_{B}^{4}}{60\,{\hbar }^{3}{c}^{2}}}={\frac {{2\pi }^{5}{k}_{B}^{4}}{15\,{h}^{3}{c}^{2}}}}\) M T−3Θ−4 5,670 374 419... × 10−8 W/m2K−4 Termodinamica

Elettromagnetismo

Carica elementare \({\displaystyle e=q_{e}}\) Q 1.602 176 634 × 10−19 C

(esatta per definizione)

Elettrostatica
Costante di struttura fine o costante di Sommerfeld \({\displaystyle {\alpha }={\alpha _{e}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}}\) Numero adimesionale 0,007 297 352 569 3 (11)

1 / 137,035 999 084 (21)

Elettromagnetismo

Teoria Atomica

Nota: L = lunghezza, M = massa, T = tempo, Q = carica, Θ = temperatura.

Le unità naturali possono aiutare i fisici a risolvere alcune domande. Frank Wilczek probabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:

«…Vediamo che la domanda [posta] non è "Perché la gravità è così debole?" ma piuttosto "Perché la massa del protone è così piccola?". Per le unità di Planck, l'intensità della gravità è semplicemente quella che è, una quantità primaria, mentre la massa del protone è un numero molto piccolo…[7]»

(Physics Today, giugno 2001)

L'intensità della gravità è semplicemente quella che è così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base ad una quantità fisica, la carica elettrica, diversa dalla gravità, la massa, così che non sia possibile una diretta comparazione con la stessa. Notare che la gravità è una forza estremamente debole ed è, dal punto di vista delle unità naturali, come paragonare mele ad arance. Vero è che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni (soli nello spazio) bissa la forza gravitazionale tra gli stessi, ma ciò è dovuto al fatto che la carica dei protoni è circa l'unità naturale della carica, ma la massa del protone è ben distante dall'unità naturale della massa.

Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione. Per questo motivo, sono molto usate nella ricerca nella teoria dei quanti.

Risolvendo le cinque equazioni precedenti per le cinque incognite si ottiene un insieme unico di valori per le cinque unità Planck di base:

Unità di Planck: unità fondamentali


Tabella 2: Unità di Planck dal 2018 CODATA
Dimensione Formula versione di Lorentz–Heaviside[8][9] Versione Gaussiana[10][11] Valore di Lorentz-Heaviside[12][13] Valore nel Sistema Internazionale Gaussiana[14]
Lunghezza di Planck Lunghezza (L) \({\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}}\) \({\displaystyle l_{p}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\;}\) 5,729 475 × 10−35 m 1,616255(18)×10−35 m
Massa di Planck Massa (M) \({\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{4\pi G}}}}\) \({\displaystyle m_{p}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}\;}\) 6,139 608 × 10−9 kg 2,176434(24)×10−8 kg
Tempo di Planck Tempo (T) \({\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{5}}}}}\) \({\displaystyle t_{p}={\frac {l_{p}}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\;}\) 1,911 147 × 10−43 s 5,391247(60)×10−44 s
Carica di Planck Carica elettrica (Q) \({\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {\varepsilon _{0}\hbar c}}}\) \({\displaystyle q_{p}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}\;}\) 5,290 818 × 10−19 C 1,875545956(41)×10−18 C
Temperatura di Planck Temperatura (Θ) \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G{k_{\text{B}}}^{2}}}}}\) \({\displaystyle {{\Theta }_{P}}={\frac {{{m}_{p}}{{c}^{2}}}{{k}_{B}}}={\sqrt {\frac {\hbar {{c}^{5}}}{Gk_{B}^{2}}}}}\) 3,996 674 × 1031 K 1,416784(16)×1032 K

Nota: L = lunghezza, M = massa, T = tempo, Q = carica, Θ = temperatura.

Le tre costanti della fisica sono espresse in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:

\({\displaystyle c={\frac {l_{P}}{t_{P}}}}\)

\({\displaystyle \hbar \ ={\frac {m_{P}l_{P}^{2}}{t_{P}}}}\)

\({\displaystyle G={\frac {l_{P}^{3}}{m_{P}t_{P}^{2}}}}\)

Nel 1899 Max Planck propose di partire dalle costanti fondamentali (per esempio nella teoria della gravitazione c'è la costante di Newton \({\displaystyle {G}\ }\), nell'elettrostatica la costante di Coulomb \({\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}\), nell'elettromagnetismo e nella relatività la velocità della luce \({\displaystyle {c}\ }\), nella termodinamica la costante di Boltzmann \({\displaystyle {k}\ }\) e nella meccanica quantistica la costante di Planck ridotta \({\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}\)) per definire le unità di misura di lunghezza, tempo, massa, carica e temperatura, invece di fare il contrario[15]. E ottenne un sistema di misura alternativo basato su «unità di Planck» in cui la costante di Newton è l'attrazione gravitazionale esercitata da due masse di Planck poste alla distanza di Planck, la costante di Coulomb è l'attrazione elettrica esercitata da due cariche di Planck poste alla distanza di Planck, la velocità della luce è la velocità di percorrenza della lunghezza di Planck nel tempo di Planck, la costante di Boltzmann è l'energia termica della temperatura di Planck e la costante di Planck è l'energia della frequenza pari all'inverso del tempo di Planck. Planck fu molto soddisfatto della scoperta delle sue unità di misura perché «mantengono il loro significato in tutti i tempi e luoghi, e risultano sempre uguali anche se misurate dalle intelligenze più disparate», mentre le costanti universali assumono valori diversi se si utilizza come sistema di misura, per esempio, il Sistema Internazionale, abbreviato in SI, oppure il Sistema cgs. Le unità di Planck costituiscono però i limiti delle teorie attuali, nel senso che al di sotto delle lunghezze, dei tempi e delle cariche di Planck, o al di sopra delle masse e delle temperature di Planck, la fisica come la conosciamo perde di senso. Quanto ai loro valori, il tempo di Planck è circa \({\displaystyle {\text{10}}^{-43}}\) secondi, la lunghezza di Planck, è \({\displaystyle {\text{10}}^{20}}\) volte più piccola di un protone, la massa di Planck è pari a \({\displaystyle {\text{10}}^{19}}\) protoni, e farebbe collassare un quanto in un buco nero, la carica di Planck è \({\displaystyle {\text{12}}}\) volte maggiore di quella di un elettrone o un protone, la temperatura di Planck, infine, è di circa \({\displaystyle {\text{10}}^{30}}\) gradi, e un corpo che la raggiungesse emetterebbe radiazioni della lunghezza di Planck.[16]

La tabella definisce chiaramente le unità di Planck in termini di costanti fondamentali. Tuttavia, rispetto ad altre unità di misura come SI, i valori delle unità Planck, diversi dalla carica Planck, sono conosciuti solo approssimativamente. Ciò è dovuto all'incertezza nel valore della costante gravitazionale G misurata rispetto alle definizioni dell'unità SI. Oggi il valore della velocità della luce c nelle unità SI non è soggetto a errori di misurazione, poiché l'unità base SI di lunghezza, il misuratore, è ora definita come la lunghezza del percorso percorso dalla luce nel vuoto durante un intervallo di tempo di 1/299 792 458 di secondo. Quindi il valore di c è ora esatto per definizione e non contribuisce all'incertezza degli equivalenti SI delle unità Planck. Lo stesso vale per il valore della permittività del vuoto ε0, a causa della definizione di ampere che imposta la permeabilità del vuoto μ0 a \({\displaystyle 4\pi }\) × 10−7 H/m il fatto che μ0 ε0 = 1/c2 . Il valore numerico della costante ridotta di Planck ħ è stato determinato sperimentalmente a 12 parti per miliardo, mentre quello di G è stato determinato sperimentalmente a non migliore di 1 parte su 21300 (o 47000 parti per miliardo).[17] G appare nella definizione di quasi tutte le unità Planck nelle tabelle 2 e 3, ma non tutte. Quindi l'incertezza nei valori degli equivalenti Tabella 2 e 3 SI delle unità Planck deriva quasi interamente dall'incertezza nel valore di G. (La propagazione dell'errore in G è una funzione dell'esponente di G nell'espressione algebrica per un'unità. Poiché tale esponente è ± 1/2 per ogni unità base diversa da Carica di Planck, l'incertezza relativa di ciascuna unità di base è circa la metà di quella di G. Questo è davvero il caso; secondo CODATA, i valori sperimentali degli equivalenti SI delle unità Planck di base sono noti a circa 1 parte su 43500, o 23000 parti per miliardo). Dopo il 20 maggio 2019, h (e quindi \({\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}\) ) è esatto come valore di riferimento, kB è anche esso esatta, ma poiché G non è ancora esatta, anche i valori di lP, mP, tP e ΘP non sono esatti. Inoltre, μ0 (e quindi \({\displaystyle \varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}\mu _{0}}}}\)) non è più esatto di precisione (solo la carica e è esatta), quindi anche q P non è esatto come precisione numerica.

Unità di Planck: unità derivate


In qualsiasi sistema di misura, unità per molte quantità fisiche possono essere derivate da unità di base. La tabella 3 offre un campione di unità Planck derivate, alcune delle quali in realtà sono usate raramente. Come per le unità di base, il loro uso è per lo più limitato alla fisica teorica perché la maggior parte di essi è troppo grande o troppo piccola per un uso empirico o pratico e vi sono grandi incertezze nei loro valori.

Tabella 3: Unità derivate di Planck approssimate
Dimensione Formula Espressione Valore, nel SI approssimata
Versione di Lorentz–Heaviside[18] Versione Gaussiana[19][20][21][22] Valore, nel SI

Lorentz-Heaviside

Valore nel SI

Gaussiana

Proprietà meccanico-fisiche
Area di Planck Area (L2) \({\displaystyle l_{\text{P}}^{2}={\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}\) \({\displaystyle l_{P}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\) 3,282 688 × 10−69 m2 2,612 280 × 10−70 m2
Volume di Planck Volume (L3) \({\displaystyle l_{\text{P}}^{3}={\sqrt {\frac {64\pi ^{3}\hbar ^{3}G^{3}}{c^{9}}}}}\) \({\displaystyle l_{P}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {\hbar ^{3}G^{3}}{c^{9}}}}}\) 1,880 808 × 10−103 m3 4,222 111 × 10−105 m3
Velocità di Planck Velocità (LT−1) \({\displaystyle v_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}=c}\) 299 792 458 m/s
Planck Angolare Radiante (LL−1) \({\displaystyle \theta _{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}=1}\) 1 rad
Planck steradiante Angolo solido (L2L−2) \({\displaystyle \theta _{\text{P}}^{2}={\frac {l_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}}}=1}\) 1 sr
Quantità di moto di Planck Quantità di moto (LMT−1) \({\displaystyle m_{\text{P}}c={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{4\pi G}}}}\) \({\displaystyle m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}\) 1,840 608 N⋅s 6,524 785 kgm/s
Energia di Planck Energia (ML2T−2) \({\displaystyle E_{\text{P}}=m_{\text{P}}v_{\text{P}}^{2}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G}}}}\) \({\displaystyle E_{\text{P}}={{m}_{P}}{{c}^{2}}={\frac {\hbar }{{t}_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar {{c}^{5}}}{G}}}}\) 5,518 004 × 108 J

153,278 kW⋅h

3,444 067 × 1018 GeV

1,956 081 × 109 J

543,356 kW⋅h

1,220 890(14) × 1028 eV

Forza di Planck Forza (MLT−2) \({\displaystyle F_{\text{P}}=m_{\text{P}}a_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{4\pi G}}}\) \({\displaystyle {{F}_{P}}={\frac {{E}_{P}}{{l}_{P}}}={\frac {\hbar }{{{l}_{P}}{{t}_{P}}}}={\frac {{c}^{4}}{G}}}\) 9,630 908 × 1042 N 1,210 256 × 1044 N
Potenza di Planck Potenza (ML2T−3) \({\displaystyle P_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{t_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{4\pi G}}}\) \({\displaystyle P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {c^{5}}{G}}\;}\) 2,887 274 × 1051 W 3,628 255 × 1052 W
Intensità radiante di Planck Intensità angolare (L2MT−3) \({\displaystyle {\frac {P_{\text{P}}}{\theta _{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{4\pi G}}}\) \({\displaystyle \iota _{\text{P}}={\frac {P_{\text{P}}}{\theta _{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}}\) 2,887 274 × 1051 W/sr 3,628 255 × 1052 W/sr
Intensità di Planck Intensità (MT−3) \({\displaystyle i_{\text{P}}={\frac {P_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{8}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}\) \({\displaystyle i_{\text{P}}=\rho _{\text{P}}^{E}c={\frac {P_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{8}}{\hbar G^{2}}}}\) 8,795 455 × 10119 W/m2 1,388 923 × 10122 W/m2
Densità di Planck Densità (ML−3) \({\displaystyle \rho _{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {\hbar \,t_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}\) \({\displaystyle \rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}\;}\) 3,264 346 × 1094 kg/m3 5,154 849 × 1096 kg/m3
Densità energetica di Planck Densità di energia (L−1MT−2) \({\displaystyle u_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar \,G^{2}}}}\) \({\displaystyle u_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}\) 2,933 848 × 10111 J/m3 4,632 947 × 10113 J/m3
Frequenza angolare di Planck Frequenza (T−1) \({\displaystyle \omega _{\text{P}}={\frac {\theta _{P}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi \hbar G}}}}\) \({\displaystyle \omega _{P}={\frac {\theta _{P}}{t_{p}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}\;}\) 5,232 458 × 1042 radHz 1,854 858 × 1043 rad/s
Accelerazione angolare di Planck Accelerazione angolare (T−2) \({\displaystyle {\frac {\omega _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}=t_{P}^{-2}={\frac {c^{5}}{4\pi \hbar G}}}\) \({\displaystyle {\frac {\omega _{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}=t_{P}^{-2}={\frac {c^{5}}{\hbar G}}}\) 2,737 862 × 1085 rad/s2 3,440 498 × 1086 rad/s2
Accelerazione di Planck Accelerazione (LT−2) \({\displaystyle a_{\text{P}}={\frac {v_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{4\pi \hbar G}}}}\) \({\displaystyle a_{\text{P}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{\hbar G}}}}\) 1,568 652 × 1051 m/s2 5,560 726 × 1051 m/s2
Momento inerziale di Planck Momento di inerzia (L2M) \({\displaystyle m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar ^{3}G}{c^{5}}}}}\) \({\displaystyle m_{\text{P}}\,l_{\text{P}}^{2}={\sqrt {\frac {\hbar ^{3}G}{c^{5}}}}}\) 2,015 442 × 10−77 kgm2 5,685 457 × 10−78 kgm2
Momento angolare di Planck Momento angolare(L2MT−1) \({\displaystyle \hbar _{\text{P}}=m_{\text{P}}\,l_{\text{P}}^{2}\,\omega _{\text{P}}=l_{\text{P}}m_{\text{P}}c=E_{\text{P}}t_{\text{P}}=\hbar }\) 1,054 571 817... × 10−34 Js
Coppia di Planck Torque (L2MT−2) \({\displaystyle \tau _{\text{P}}=F_{\text{P}}l_{\text{P}}={\frac {\hbar _{P}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G}}}}\) \({\displaystyle \tau _{\text{P}}=F_{\text{P}}l_{\text{P}}={\frac {\hbar _{P}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\) 5,518 004 × 108 Nm 1,956 081 × 109 Nm
Pressione di Planck Pressione (ML−1T−2) \({\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{\text{P}}^{3}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}\) \({\displaystyle p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}\;}\) 2,933 848 × 10111 Pa 4,632 947 × 10113 Pa
Tensione superficiale di Planck Tensione superficiale (MT−2) \({\displaystyle {\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{11}}{64\pi ^{3}\hbar G^{3}}}}}\) \({\displaystyle {\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{11}}{\hbar G^{3}}}}}\) 1,680 941 × 1077 N/m 7,488 024 × 1078 N/m
Forza superficiale universale di Planck Forza superficiale universale (L−1MT−2) \({\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}\) \({\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}\) 2,933 848 × 10111 Pa 4,632 947 × 10113 Pa
Durezza di indentazione di Planck Durezza di indentazione (L−1MT−2) \({\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}\) \({\displaystyle p_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}\) 2,933 848 × 10111 Pa 4,632 947 × 10113 Pa
Durezza assoluta di Planck Duerezza Assoluta

(L−1MT−2)

\({\displaystyle {\frac {a_{\oplus }}{F_{\text{P}}}}={\frac {_{9,80665}\,4\pi \,G}{c^{4}}}}\) \({\displaystyle {\frac {a_{\oplus }}{F_{\text{P}}}}={\frac {_{9,80665}\,G}{c^{4}}}}\) 1,018248 × 10−42 kg⋅f 8,102 958 × 10−44 kg⋅f
Flusso di massa di Planck Rapporto di flusso di massa (MT−1) \({\displaystyle {t_{r}}_{\text{s}}^{-1}={\frac {m_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {c}{2\pi \,r_{s}}}={\frac {c^{3}}{4\pi G}}}\) \({\displaystyle {t_{r}}_{\text{s}}^{-1}={\frac {m_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {2\,c}{r_{s}}}={\frac {c^{3}}{G}}}\) 3,212 525 × 1034 kg/s 4,036 978 × 1035 kg/s
Viscosità di Planck viscosità dinamica (L−1MT−1) \({\displaystyle \eta _{\text{P}}=P_{\text{P}}t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {c^{9}}{64\pi ^{3}\hbar G^{3}}}}}\) \({\displaystyle \eta _{\text{P}}=P_{\text{P}}t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {c^{9}}{\hbar G^{3}}}}}\) 5,607 015 × 1068 Pas 2,497 736 × 1070 Pas
Viscosità cinematica di Planck viscosità cinematica (L2T−1) \({\displaystyle {\frac {\eta _{\text{P}}}{\rho _{\text{P}}}}={\frac {l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c}}}}\) \({\displaystyle {\frac {\eta _{\text{P}}}{\rho _{\text{P}}}}={\frac {l_{\text{P}}^{2}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c}}}}\) 1,717 653 × 10−27 m2/s 4,845 411 × 10−27 m2/s
Portata volumetrico di Planck Rapporto di flusso volumetrico (L3T−1) \({\displaystyle Q_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}^{3}}{t_{\text{P}}}}=l_{\text{P}}^{2}v_{\text{P}}={\frac {4\pi \hbar G}{c^{2}}}}\) \({\displaystyle Q_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}^{3}}{t_{\text{P}}}}=l_{\text{P}}^{2}v_{\text{P}}={\frac {\hbar \,G}{c^{2}}}}\) 9,841 252 × 10−61 m3/s 7,831 419 × 10−62 m3/s
Proprietà elettromagnetiche
Corrente di Planck Corrente elettrica (QT−1) \({\displaystyle I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{6}}{4\pi G}}}}\) \({\displaystyle I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {4\pi \varepsilon _{0}c^{6}}{G}}}\;}\) 2,768 399 × 1024 A 3,478 873 × 1025 A
Forza magnetomotiva di Planck Corrente elettrica (QT−1) \({\displaystyle I_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{6}}{4\pi G}}}}\) \({\displaystyle I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {4\pi \varepsilon _{0}c^{6}}{G}}}\;}\) 2,768 399 × 1024 A 3,478 873 × 1025 A
Tensione di Planck Tensione (ML2T−2Q−1) \({\displaystyle V_{p}={\frac {E_{p}}{q_{p}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{4\pi \varepsilon _{0}G}}}\;}\) 1,042 940 × 1027 V
Forza elettromotiva di Planck Tensione (ML2T−2Q−1) \({\displaystyle \phi _{P}=V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{4\pi \varepsilon _{0}G}}}\;}\) 1,042 940 × 1027 V
Resistenza di Planck Resistenza elettrica (ML2T−1Q−2) \({\displaystyle Z_{\text{P}}={\frac {V_{\text{P}}}{I_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}c}}=\mu _{0}c=Z_{0}}\) \({\displaystyle Z_{p}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}\;}\) 376,730 Ω 29,979 245 8 Ω
Conduttanza di Planck Conduttanza Elettrica (L−2M−1TQ2) \({\displaystyle G_{\text{P}}={\frac {1}{R_{\text{P}}}}=\varepsilon _{0}c={\frac {1}{Z_{0}}}}\) \({\displaystyle G_{\text{P}}={\frac {1}{R_{\text{P}}}}=4\pi \varepsilon _{0}c={\frac {4\pi }{Z_{0}}}}\) 0,002 654 S 0,033 356 4095... S
Capacità Elettrica di Planck Capacità Elettrica (L−2M−1T2Q2) \({\displaystyle {{C}_{\text{P}}}={\frac {{q}_{\text{P}}}{{V}_{\text{P}}}}={\frac {{l}_{P}}{{k}_{e}}}={\sqrt {\frac {4{\pi }\varepsilon _{0}^{2}\hbar \,G}{{c}^{3}}}}}\) \({\displaystyle {{C}_{\text{P}}}={\frac {{q}_{\text{P}}}{{V}_{\text{P}}}}={\frac {{l}_{P}}{{k}_{e}}}={\sqrt {\frac {16{{\pi }^{2}}\varepsilon _{0}^{2}\hbar G}{{c}^{3}}}}}\) 5,072 985 × 10−46 F 1,798 326 × 10−45 F
Permittività di Planck

(Costante elettrica)

Permettività elettrica (L−3M−1T2Q2) \({\displaystyle \varepsilon _{\text{P}}={\frac {C_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {q_{\text{P}}}{V_{\text{P}}l_{\text{P}}}}={\frac {F_{\text{P}}}{V_{\text{P}}^{2}}}=\varepsilon _{0}}\) \({\displaystyle \varepsilon _{\text{P}}={\frac {C_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {F_{\text{P}}}{V_{\text{P}}^{2}}}={\frac {1}{k_{\text{e}}}}=4\pi \,\varepsilon _{0}}\) 8,854 187 8128(13) × 10−12 F/m 1,112 650 055... × 10−10 F/m
Permeabilità di Planck

(Costante magnetica)

Permeabilità magnetica (LMQ−2) \({\displaystyle \mu _{\text{P}}={\frac {L_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {{\phi }_{\text{P}}^{B}}{l_{\text{P}}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\,c^{2}}}=\mu _{0}}\) \({\displaystyle \mu _{\text{P}}={\frac {L_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {V_{\text{P}}}{{I_{m}}_{\text{P}}}}={\frac {1}{4\pi \,\varepsilon _{0}\,c^{2}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}\) 1,256 637 062 12(19) × 10−6 H/m 1,000 000 000 55(15) × 10−7 H/m
Induttanza Elettrica di Planck Induttanza (L2MQ−2) \({\displaystyle L_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{I_{\text{P}}}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{q_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {4\pi \,\hbar \,G}{\varepsilon _{0}^{2}\,c^{7}}}}}\) \({\displaystyle L_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{I_{\text{P}}^{2}}}={\frac {m_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{q_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {G\hbar }{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}c^{7}}}}}\) 7,199 871 × 10−41 H 1,616 255(18) × 10−42 H
Resistivittà elettrica di Planck Resistività Elettrica (L3MT−1Q−2) \({\displaystyle Z_{\text{P}}^{\rho }=Z_{\text{P}}l_{\text{P}}=t_{\text{P}}k_{\text{e}}={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{\varepsilon _{0}^{2}c^{5}}}}}\) \({\displaystyle Z_{\text{P}}^{\rho }=Z_{\text{P}}l_{\text{P}}=t_{\text{P}}k_{\text{e}}={\sqrt {\frac {\hbar \,G}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}c^{5}}}}}\) 2,158 467 × 10−32 Ω⋅m 4,845 411 × 10−34 Ω⋅m
Conduttività Elettrica di Planck Conduttività Elettrica (L−3M−1TQ2) \({\displaystyle \sigma _{\text{P}}={\frac {1}{Z_{\text{P}}^{\rho }}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}^{2}c^{5}}{4\pi \,\hbar \,G}}}}\) \({\displaystyle \sigma _{\text{P}}={\frac {1}{Z_{\text{P}}^{\rho }}}={\sqrt {\frac {16\pi ^{2}\,\varepsilon _{0}^{2}c^{5}}{\hbar \,G}}}}\) 4,632 918 × 1031 S/m 2,063 809 × 1033 S/m
Densità di carica di Planck Densità di carica (L−3Q) \({\displaystyle {\rho _{e}}_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{10}}{64\pi ^{3}\hbar ^{2}G^{3}}}}}\) \({\displaystyle {\rho _{e}}_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\sqrt {\frac {4\pi \,\varepsilon _{0}c^{10}}{\hbar ^{2}G^{3}}}}}\) 2,813 056 × 1086 C/m3 4,442 200 × 1086 C/m3
Forza del campo elettrico di Planck Campo Elettrico

(LMT−2Q−1)

\({\displaystyle {\bf {E}}_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}\hbar \,G^{2}}}}}\) \({\displaystyle {\bf {E}}_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{q_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{4\pi \,\varepsilon _{0}\hbar G^{2}}}}}\) 1,820 306 × 1061 V/m 6,452 817 × 1061 V/m
Forza del campo magnetico di Planck Campo magnetico

(L−1T−1Q)

\({\displaystyle {\bf {H}}_{\text{P}}={\frac {I_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{9}}{16\pi ^{2}\hbar \,G^{2}}}}}\) \({\displaystyle {\bf {H}}_{\text{P}}={\frac {I_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi \,\varepsilon _{0}c^{9}}{\hbar \,G^{2}}}}}\) 4,831 855 × 1058 A/m 2,152 428 × 1060 A/m
Induzione elettrica di Planck Corrente di spostamento (L−2T−1Q) \({\displaystyle {\bf {D}}_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{7}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}}\) \({\displaystyle {\bf {D}}_{\text{P}}={\frac {q_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {4\pi \,\varepsilon _{0}c^{7}}{\hbar \,G^{2}}}}}\) 1,611 733 × 1050 C/m2 7,179 727 × 1051 C/m2
Induzione magnetico di Planck Campo magnetico (MT−1Q−1) \({\displaystyle {\bf {B}}_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}I_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}\,\hbar \,G^{2}}}}}\) \({\displaystyle {\bf {B}}_{\text{P}}={\frac {F_{\text{P}}}{l_{\text{P}}I_{\text{P}}}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar \,G^{2}}}}}\) 6,071 888 × 1052 T 2,152 428 × 1053 T
Flusso elettrico di Planck Flusso magnetico (L2MT−1Q−1) \({\displaystyle {\phi }_{\text{P}}^{E}={\bf {E}}_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}=\phi _{\text{P}}l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{\varepsilon _{0}}}}}\) \({\displaystyle {\phi }_{\text{P}}^{E}={\bf {E}}_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}=\phi _{\text{P}}l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}}}\) 5,975 498 × 10−8 Vm 1,685 657 × 10−8 Vm
Flusso Magnetico di Planck Flusso magnetico (L2MT−1Q−1) \({\displaystyle {\phi }_{\text{P}}^{B}={\bf {B}}_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}={\bf {A}}_{P}l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar }{\varepsilon _{0}c}}}}\) \({\displaystyle {\phi }_{\text{P}}^{B}={\frac {E_{\text{P}}}{I_{\text{P}}}}={\bf {A}}_{P}l_{\text{P}}={\frac {\hbar }{q_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\hbar }{4\pi \varepsilon _{0}c}}}}\) 1,993 211 × 10−16 Wb 5,622 746 × 10−17 Wb
Potenziale elettrico di Planck Tensione (ML2T−2Q−1) \({\displaystyle \phi _{P}=V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{4\pi \varepsilon _{0}G}}}\;}\) 1,042 940 × 1027 V
Potenziale magnetico Planck Corrente magnetica (LMT−1Q−1) \({\displaystyle {{\bf {A}}_{P}}={\frac {{E}_{P}}{{{q}_{m}}_{\text{P}}}}={\frac {{F}_{P}}{{I}_{\text{P}}}}={\frac {{V}_{P}}{{v}_{\text{P}}}}={{\bf {B}}_{\text{P}}}{{l}_{P}}={\frac {\hbar }{{{q}_{\text{P}}}{{l}_{P}}}}={\sqrt {\frac {{c}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}G}}}}\) 3,478 873 × 1018 T·m
Densità di corrente di Planck Densità di corrente elettrica (L−2T−1Q) \({\displaystyle {\bf {J}}_{\text{P}}={\frac {I_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={{\rho }_{e}}_{\text{P}}v_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}\,c^{12}}{64\pi ^{3}\hbar ^{2}G^{3}}}}}\) \({\displaystyle {\bf {J}}_{\text{P}}={\frac {I_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={{\rho }_{e}}_{\text{P}}v_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \,\varepsilon _{0}c^{12}}{\hbar ^{2}G^{3}}}}}\) 8,433 329 × 1092 A/m2 1,331 738 × 1095 A/m2
Momento elettrico di Planck Dipolo Elettrico

(LQ)

\({\displaystyle {d}_{\text{P}}=q_{\text{P}}l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {4\pi \,\varepsilon _{0}\hbar ^{2}G}{c^{2}}}}}\) 3,031 361 × 10−53 Cm
Momento magnetico di Planck Dipolo magnetico

(L2T−1Q)

\({\displaystyle {\mu _{d}}_{\text{P}}={q_{m}}_{\text{P}}l_{\text{P}}=I_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}={\sqrt {4\pi \,\varepsilon _{0}\hbar ^{2}G}}}\) 9,087 791 × 10−45 J/T
Monopolo magnetico di Planck Carica magnetica (LT−1Q) \({\displaystyle {{q}_{m}}_{\text{P}}=q_{\text{P}}v_{P}={\frac {F_{\text{P}}}{{\bf {B}}_{\text{P}}}}={\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}\hbar {{c}^{3}}}}}\) \({\displaystyle {{q}_{m}}_{\text{P}}=q_{\text{P}}v_{P}={\frac {4\pi }{\mu _{0}}}\,\phi _{\text{P}}^{B}={\sqrt {4\pi {{\varepsilon }_{0}}\hbar {{c}^{3}}}}}\) 1,586 147 × 10−10 N/T 5,622 746 × 10−10 Am
Corrente magnetica di Planck Corrente magnetica (LT−2Q) \({\displaystyle {I_{m}}_{\text{P}}={\frac {{q_{m}}_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={q_{\text{P}}}{a_{\text{P}}}={I_{\text{P}}}{v_{\text{P}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{8}}{4\pi \,G}}}}\) \({\displaystyle {I_{m}}_{\text{P}}={\frac {{q_{m}}_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={q_{\text{P}}}{a_{\text{P}}}={\sqrt {\frac {4\pi \varepsilon _{0}c^{8}}{G}}}}\) 8,299 451 × 1032 Vm/H 1,042 940 × 1034 W/Tm
Densità di corrente magnetica di Planck Corrente magnetica (L−1T−2Q) \({\displaystyle {\frac {{I_{m}}_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\bf {J}}_{\text{P}}v_{\text{P}}={\frac {{I}_{\text{P}}}{l_{\text{P}}t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}c^{14}}{64\pi ^{3}\hbar ^{2}G^{3}}}}}\) \({\displaystyle {\frac {{I_{m}}_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\bf {J}}_{\text{P}}v_{\text{P}}={\frac {{I}_{\text{P}}}{l_{\text{P}}t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi \varepsilon _{0}c^{14}}{\hbar ^{2}G^{3}}}}}\) 2,528 248 × 10101 V/m⋅H 3,992 450 × 10103 W/Wbm
Carica specifica di Planck carica specifica (M−1Q) \({\displaystyle q_{\,r_{\text{s}}}={\frac {q_{\text{P}}}{m_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {2\pi \,{r_{\text{s}}}}{\mu _{0}}}}={\sqrt {\frac {G}{k_{e}}}}={\sqrt {4\pi \,\varepsilon _{0}G}}}\) 8,617 517 × 10−11 Hz/T
Monopolo specifica di Planck carica magnetica specifica (LT−1M−1Q) \({\displaystyle q_{\,r_{\text{s}}}c={\frac {q_{\text{P}}c}{m_{\text{P}}}}={\frac {a_{\text{P}}}{{\bf {B}}_{\text{P}}}}={\sqrt {4\pi \,\varepsilon _{0}c^{2}G}}}\) \({\displaystyle q_{\,r_{\text{s}}}c={\frac {q_{\text{P}}c}{m_{\text{P}}}}={\frac {a_{\text{P}}}{{\bf {B}}_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi \,G}{\mu _{0}}}}}\) 0,0258 347 m/ s2T 0,0258 347 m/ s2T
Proprietà termodinamiche
Temperatura di Planck in 2 π Temperatura (Θ) \({\displaystyle {\Theta }_{\text{P}}^{_{2\pi }}=2\pi \,{\Theta _{\text{P}}}={\frac {2\pi \,E_{\text{P}}}{k_{B}}}={\sqrt {\frac {\pi \,\hbar \,c^{5}}{G\,{k_{\text{B}}}^{2}}}}}\) \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}^{_{2\pi }}=2\pi \,{\Theta _{\text{P}}}={\frac {2\pi \,m_{\text{P}}c^{2}}{k_{B}}}={\sqrt {\frac {\pi \,\hbar \,c^{5}}{G\,{k_{\text{B}}}^{2}}}}}\) 2,511 185 × 1032 K 8,901 917 × 1032 K
Entropia di Planck Entropia (L2MT−2Θ−1) \({\displaystyle S_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{\Theta _{\text{P}}}}=k_{\text{B}}}\) 1,380 649 × 10−23 J/K
Entropia di Planck in 2 π Entropia (L2MT−2Θ−1) \({\displaystyle {S_{2\pi }}_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{2\pi \,\Theta _{\text{P}}}}={\frac {k_{\text{B}}}{2\pi }}}\) 2,197 371 × 10−24 J/K
Coefficiente di dilatazione termica di Planck Coefficiente di dilatazione termica−1) \({\displaystyle {\alpha _{_{V}}}_{\text{P}}={\frac {1}{\Theta _{\text{P}}}}={\frac {k_{B}}{E_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi G{k_{\text{B}}}^{2}}{\hbar c^{5}}}}}\) \({\displaystyle {\alpha _{_{V}}}_{\text{P}}={\frac {1}{\Theta _{\text{P}}}}={\frac {k_{B}}{E_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {G{k_{\text{B}}}^{2}}{\hbar c^{5}}}}}\) 2,502 080 × 10−33 K−1 7,058 238 × 10−33 K−1
Capacità termica di Planck Capacità termica - Entropia (L2MT−2Θ−1) \({\displaystyle {C}_{\text{P}}^{\Theta }={\frac {E_{\text{P}}}{\Theta _{\text{P}}}}=k_{\text{B}}}\) 1,380 649 × 10−23 J/K
Calore specifico di Planck Calore specifico (L2T−2Θ−1) \({\displaystyle {c_{p}}_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{m_{\text{P}}\Theta _{\text{P}}}}={\frac {k_{B}}{m_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {4\pi Gk_{\text{B}}^{2}}{\hbar c}}}}\) \({\displaystyle {c_{p}}_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{m_{\text{P}}\Theta _{\text{P}}}}={\frac {k_{B}}{m_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {Gk_{\text{B}}^{2}}{\hbar c}}}}\) 2,248 758 × 10−15 J/kgK 6,343 628 × 10−16 J/kgK
Calore volumetrico di Planck Calore volumetrico (L−1MT−2Θ−1) \({\displaystyle {c_{V}}_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}\Theta _{\text{P}}}}={\frac {k_{B}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\sqrt {\frac {c^{9}k_{\text{B}}^{2}}{64\pi ^{3}\hbar ^{3}G^{3}}}}}\) \({\displaystyle {c_{V}}_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{3}\Theta _{\text{P}}}}={\frac {k_{B}}{l_{\text{P}}^{3}}}={\sqrt {\frac {c^{9}k_{\text{B}}^{2}}{\hbar ^{3}G^{3}}}}}\) 7,340 723 × 1079 J/m3K 3,270 044 × 1081 J/m3K
Resistenza termica di Planck Resistenza termica (L−2M−1T3Θ) \({\displaystyle {\Omega _{\Theta }}_{\text{P}}={\frac {\Theta _{\text{P}}}{P_{\text{P}}}}={\frac {t_{\text{P}}}{k_{\text{B}}}}={\sqrt {\frac {4\pi \,\hbar \,G}{c^{5}k_{\text{B}}^{2}}}}}\) \({\displaystyle {\Omega _{\Theta }}_{\text{P}}={\frac {\Theta _{\text{P}}}{P_{\text{P}}}}={\frac {t_{\text{P}}}{k_{\text{B}}}}={\sqrt {\frac {\hbar \,G}{c^{5}k_{\text{B}}^{2}}}}}\) 1,384 238 × 10−20 K/W 3,904 864 × 10−21 K/W
Conduttanza termica di Planck Conduttanza termica (L2MT−3Θ−1) \({\displaystyle {G_{\Theta }}_{\text{P}}={\frac {k_{\text{B}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}k_{\text{B}}^{2}}{4\pi \,\hbar \,G}}}\cong {\bf {A}}_{\text{P}}{\frac {2\pi }{\sqrt {\alpha }}}}\) \({\displaystyle {G_{\Theta }}_{\text{P}}={\frac {1}{{\Omega _{\Theta }}_{\text{P}}}}={\frac {k_{\text{B}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}k_{\text{B}}^{2}}{\hbar \,G}}}}\) 7,224 190 × 1019 W/K 2,560 909 × 1020 W/K
Resistività termica di Planck Resistività termica

(L−1M−1T3Θ)

\({\displaystyle {\frac {1}{{\lambda _{\Theta }}_{\text{P}}}}={\Omega _{\Theta }}_{\text{P}}\,l_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}t_{\text{P}}}{k_{\text{B}}}}={\sqrt {\frac {16\pi ^{2}\hbar ^{2}G^{2}}{c^{8}k_{\text{B}}^{2}}}}}\) \({\displaystyle {\frac {1}{{\lambda _{\Theta }}_{\text{P}}}}={\Omega _{\Theta }}_{\text{P}}\,l_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}t_{\text{P}}}{k_{\text{B}}}}={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{c^{8}k_{\text{B}}^{2}}}}}\) 7,930958 × 10−55 mK/W 6,311256 × 10−56 mK/W
Conducibilità termica di Planck Conducibilità termica

(LMT−3Θ−1)

\({\displaystyle {\lambda _{\Theta }}_{\text{P}}={\frac {P_{\text{P}}}{l_{\text{P}}\Theta _{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{8}k_{\text{B}}^{2}}{16\pi ^{2}\hbar ^{2}G^{2}}}}\cong {\bf {B}}_{\text{P}}{\frac {2\pi }{\sqrt {\alpha }}}}\) \({\displaystyle {\lambda _{\Theta }}_{\text{P}}={\frac {P_{\text{P}}}{l_{\text{P}}\Theta _{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{8}k_{\text{B}}^{2}}{\hbar ^{2}G^{2}}}}\cong {\bf {B}}_{\text{P}}{\frac {2\pi }{\sqrt {\alpha }}}}\) 1,260 881 × 1054 W/mK 1,584 471 × 1055 W/mK
Isolatore termico di Planck Isolatore termico (M−1T3Θ) \({\displaystyle {\frac {l_{\text{P}}}{{\lambda _{\Theta }}_{\text{P}}}}={\Omega _{\Theta }}_{\text{P}}\,l_{\text{P}}^{2}={\sqrt {\frac {64\pi ^{3}\hbar ^{3}G^{3}}{c^{11}k_{\text{B}}^{2}}}}}\) \({\displaystyle {\frac {l_{\text{P}}}{{\lambda _{\Theta }}_{\text{P}}}}={\Omega _{\Theta }}_{\text{P}}\,l_{\text{P}}^{2}={\sqrt {\frac {\hbar ^{3}G^{3}}{c^{11}k_{\text{B}}^{2}}}}}\) 4,544 023 × 10−89 m2K/W 1,020 060 × 10−90 m2K/W
Trasmittanza termica di Planck Trasmittanza termica (MT−3Θ−1) \({\displaystyle {\frac {{\lambda _{\Theta }}_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {1}{{\Omega _{\Theta }}_{\text{P}}\,l_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {c^{11}k_{\text{B}}^{2}}{64\pi ^{3}\hbar ^{3}G^{3}}}}}\) \({\displaystyle {\frac {{\lambda _{\Theta }}_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {1}{{\Omega _{\Theta }}_{\text{P}}\,l_{\text{P}}^{2}}}={\sqrt {\frac {c^{11}k_{\text{B}}^{2}}{64\pi ^{3}\hbar ^{3}G^{3}}}}}\) 2,200 693 × 1088 W/m2K 9,803 346 × 1089 W/m2K
Flusso termico di Planck Intensità (MT−3) \({\displaystyle {\phi _{q}}_{\text{P}}={\lambda _{\Theta }}_{\text{P}}\Theta _{\text{P}}=i_{\text{P}}={\frac {P_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{8}}{16\pi ^{2}\hbar G^{2}}}}\) \({\displaystyle {\phi _{q}}_{\text{P}}={\lambda _{\Theta }}_{\text{P}}\Theta _{\text{P}}=i_{\text{P}}={\frac {P_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}}}={\frac {c^{8}}{\hbar G^{2}}}}\) 8,795 455 × 10119 W/m2 1,388 923 × 10122 W/m2
Località di Planck di Planck Seconda radiazione di costante (L Θ) \({\displaystyle C_{2_{P}}={\Theta _{\text{P}}l_{\text{P}}}={\frac {C_{2}}{2\pi }}={\frac {hc}{2\pi \,{k}_{B}}}={\frac {{E}_{P}{l}_{P}}{{k}_{B}}}}\) 0.002 289 885 K m
Località di Planck con costante di struttura fine Seconda radiazione di costante (L Θ) \({\displaystyle C_{\alpha _{P}}={\frac {2\pi \,\Theta _{\text{P}}l_{\text{P}}}{\sqrt {\alpha }}}={\frac {C_{2}}{\sqrt {\alpha }}}={\frac {hc}{{\sqrt {\alpha }}\,{k}_{B}}}={\frac {2\pi {E}_{P}{l}_{P}}{{\sqrt {\alpha }}\,{k}_{B}}}\cong q_{\text{P}}c^{2}}\) 0.168 427 K m
Costante di Stefan-Boltzmann di Planck Costante di proporzionalità (M T−3Θ−4) \({\displaystyle \sigma _{_{\sigma }{P}}={\frac {{P}_{P}}{{l}_{P}^{2}{\Theta }_{P}^{4}}}={\frac {{k}_{B}^{4}}{{\hbar }^{3}{c}^{2}}}={\frac {{16}\pi ^{4}\hbar {c}^{2}}{C_{2}^{4}}}}\) 3.447 174 × 10−7 W/m−2 K−4
Proprietà radioattive
Attività specifica di Planck Attività specifica (T−1) \({\displaystyle {\frac {1}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi \hbar G}}}}\) \({\displaystyle {\frac {1}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}\) 5,232 458 × 1042 Bq 1,854 858 × 1043 Bq
Esposizione radioattiva di Planck Radiazioni ionizzanti (M−1Q) \({\displaystyle q_{\,r_{\text{s}}}={\frac {q_{\text{P}}}{m_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {2\pi \,{r_{\text{s}}}}{\mu _{0}}}}={\sqrt {\frac {G}{k_{e}}}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}G}}}\) 8,617 518 × 10−11 C/kg
Potenziale gravitazionale di Planck calorie specifiche (L2T−2) \({\displaystyle {\Phi _{_{G}}}_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{m_{\text{P}}}}=c^{2}}\) 89 875 517 873 681 764 J/kg
Dose assorbita di Planck Dose assorbita (L2T−2) \({\displaystyle {\Phi _{_{G}}}_{\text{P}}={\frac {E_{\text{P}}}{m_{\text{P}}}}=c^{2}}\) 8,987 552 × 1016 Gy
Velocità di dose assorbita di Planck Velocità di dose assorbita (L2T−3) \({\displaystyle {\frac {{\Phi _{_{G}}}_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{9}}{4\pi \hbar G}}}}\) \({\displaystyle {\frac {{\Phi _{_{G}}}_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{9}}{\hbar G}}}}\) 4,702 700 × 1059 Gy/s 1,667 064 × 1060 Gy/s
Proprietà dei buchi neri
Massa lineare di Planck Massa lineare

(ML−1)

\({\displaystyle {l_{r}}_{\text{s}}^{-1}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {2}{4\pi \,r_{s}}}={\frac {c^{2}}{4\pi G}}}\) \({\displaystyle {l_{r}}_{\text{s}}^{-1}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {2}{r_{s}}}={\frac {c^{2}}{G}}}\) 1,071 583 × 1026 kg/m 1,346 591 × 1027 kg/m
Impedenza maccanica di Planck Impedenza meccanica

(ML−1)

\({\displaystyle {t_{r}}_{\text{s}}^{-1}={\frac {m_{\text{P}}}{t_{\text{P}}}}={\frac {2\,c}{4\pi \,r_{s}}}={\frac {c^{3}}{4\pi G}}}\) \({\displaystyle {t_{r}}_{\text{s}}^{-1}={\frac {m_{\text{P}}}{l_{\text{P}}}}={\frac {2\,c}{r_{s}}}={\frac {c^{3}}{G}}}\) 3,212 525 × 1034 kg/s 4,036 978 × 1035 kg/s
Gravità di superficie Gravità di superficie

(M−1LT−2)

\({\displaystyle {a_{r}}_{\text{s}}\equiv {\frac {1}{4M}}\equiv {\frac {F_{\text{P}}}{{m_{r}}_{\text{s}}}}={\frac {m_{\text{P}}\,c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{4\pi G}}}\) \({\displaystyle {a_{r}}_{\text{s}}\equiv {\frac {1}{4M}}\equiv {\frac {F_{\text{P}}}{{m_{r}}_{\text{s}}}}={\frac {m_{\text{P}}\,c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}}\) 9,630 908 × 1042 kgm/s2 1,210 256 × 1044 kgm/s2
Costante di accoppiamento di Planck Teoria dell'Informazione

(adimensionale)

\({\displaystyle {\alpha _{G}}_{\text{P}}={m_{r}}_{\text{s}}^{2}=\left({\frac {m_{\text{P}}}{m_{\text{P}}}}\right)^{2}={\frac {4\pi G\,m_{\text{P}}^{2}}{\hbar c}}}\) \({\displaystyle {\alpha _{G}}_{\text{P}}={m_{r}}_{\text{s}}^{2}=\left({\frac {m_{\text{P}}}{m_{\text{P}}}}\right)^{2}={\frac {G\,m_{\text{P}}^{2}}{\hbar c}}}\) 1 1
Limite di Benkenstein di Planck[23][24][24][25][26] Teoria dell'Informazione

(adimensionale)

\({\displaystyle {I_{_{bits}}}_{\text{P}}\leq {\frac {2\pi \,{\alpha _{G}}_{\text{P}}}{\log[2]}}={\frac {2\pi \,l_{\text{P}}\,E_{\text{P}}}{\hbar c}}}\) 9,064 720... bits

≈ 23,18

≈ 1,133 bytes

rapporto massa-massa di Planck Teoria dell'Informazione

(adimensionale)

\({\displaystyle {m_{r}}_{\text{s}}={\frac {m_{\text{P}}}{m_{\text{P}}}}}\) 1
Unità di Planck Unita di Planck

(adimensionale)

\({\displaystyle {\sqrt {{\alpha _{G}}_{\text{P}}}}={m_{r}}_{\text{s}}={\frac {m_{\text{P}}}{m_{\text{P}}}}}\) \({\displaystyle {\sqrt {{\alpha _{G}}_{\text{P}}}}={m_{r}}_{\text{s}}={\frac {m_{\text{P}}}{m_{\text{P}}}}}\) 1 1

Nota: \({\displaystyle k_{e}}\) è la costante di Coulomb, \({\displaystyle \mu _{0}}\) è la permeabilità nel vuoto, \({\displaystyle Z_{0}}\) è l'impedenza di spazio libero, \({\displaystyle Y_{0}}\) è l'ammissione di spazio libero, \({\displaystyle R}\) è la costante di gas.

Nota: \({\displaystyle N_{\text{A}}}\) è la costante di Avogadro, anch'essa normalizzata a 1 in (entrambe le versioni di) unità Planck

Discussione


Alle "scale di Planck" di lunghezza, tempo, densità o temperatura, si devono considerare sia gli effetti della meccanica quantistica che della relatività generale, ma ciò richiede una teoria della gravità quantistica di cui ancora non conosciamo la forma.

La maggior parte delle unità sono o troppo piccole o troppo grandi per l'utilizzo pratico. Inoltre soffrono di incertezze nella misura di alcune delle costanti su cui sono basate, in particolare la costante gravitazionale \({\displaystyle {G}\ }\) (che ha un'incertezza di 1 su 44000 parti).

La carica di Planck non fu originariamente definita da Planck. È una definizione di unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck, ed è utilizzata in alcune pubblicazioni[27][28][29]. È interessante notare che la carica elementare, misurata in termini della carica di Planck, risulta essere

\({\displaystyle e={\sqrt {\alpha }}\ q_{P}=0{,}085\,424\,543\,1319(64)\ q_{P}\,}\)

dove \({\displaystyle {\alpha }\ }\) è la costante di struttura fine[30]:

\({\displaystyle \alpha =\left({\frac {e}{q_{P}}}\right)^{2}={\frac {e^{2}}{\hbar c4\pi \varepsilon _{0}}}={\frac {1}{137{,}035\,999\,084(21)}}}\)

Si può ritenere che la costante di struttura fine, adimensionale, possieda il proprio valore per via della quantità di carica, misurata in unità naturali (carica di Planck), che gli elettroni, i protoni e altre particelle cariche hanno in natura. Poiché la forza elettromagnetica tra due particelle è proporzionale alle cariche di ciascuna particella (che è proporzionale a \({\displaystyle {\sqrt {\alpha }}}\)), la forza elettromagnetica relativamente alle altre forze è proporzionale a \({\displaystyle {\alpha }}\).

L'impedenza di Planck risulta essere l'impedenza caratteristica del vuoto, \({\displaystyle Z_{0}\ }\), divisa per 4π. Ciò avviene in quanto la costante della forza di Coulomb, \({\displaystyle 1/(4\pi \varepsilon _{0})}\), è normalizzata a 1 nella legge di Coulomb, così come viene fatto nelle unità cgs, invece che porre a 1 la permittività del vuoto \({\displaystyle \varepsilon _{0}\ }\). Tali considerazioni, insieme al fatto che la costante gravitazionale \({\displaystyle G\ }\) è normalizzata a 1 (invece che 4πG o 8πG o 16πG), inducono a ritenerla una definizione arbitraria e forse non ottimale nella prospettiva di definire le unità più naturali della fisica come unità di Planck.

«Una convenzione sempre più comune nella letteratura di fisica delle particelle e cosmologia è quella di usare 'unità di Planck ridotte' in cui \({\displaystyle 8\pi G=1\ }\) (così chiamato perché la massa di Planck è ridotta di \({\displaystyle {\sqrt {8\pi }}\ }\) in queste unità). Queste unità hanno il vantaggio di rimuovere un fattore \({\displaystyle 8\pi \ }\) dalle equazione di campo di Einstein, azione di Einstein-Hilbert, Equazioni di Friedmann e le Equazione di Poisson per la gravitazione, a scapito di introdurne una nella legge di gravitazione universale. Un'altra convenzione che si vede occasionalmente è di impostare \({\displaystyle 16\pi G=1\ }\) , che imposta il coefficiente di R nell'azione di Einstein-Hilbert su unità. Tuttavia, un'altra convenzione imposta \({\displaystyle 4\pi G=1\ }\) in modo che le costanti dimensionali nelle [controparti Gravitoelettromagnetismo | gravitoelettromagnetico]] (GEM) di equazioni di Maxwell vengano eliminate. Le equazioni GEM hanno la stessa forma delle equazioni di Maxwell (e dell'equazione della forza di Lorentz) dell'interazione elettromagnetica con massa (o densità di massa) che sostituisce carica (o densità di carica) e \({\displaystyle 1/(4\pi G)\ }\) sostituendo la permittività \({\displaystyle \varepsilon _{0}\ }\) e sono applicabili in campi gravitazionali deboli o spazio-tempo ragionevolmente piatto. Come le radiazioni elettromagnetiche, le radiazioni gravitazionali si propagano alla velocità di \({\displaystyle c\ }\) e hanno impedenza caratteristica di spazio libero \({\displaystyle Z_{0}=(4\pi G)/c\ }\) che diventa unità se le unità sono definite giudiziosamente in modo che \({\displaystyle c=1\ }\) e \({\displaystyle 4\pi G=1\ }\).»

La carica, come le altre unità Planck, non era originariamente definita da Planck. È un'unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck e viene utilizzata in alcune pubblicazioni.[31][32] La carica elementare \({\displaystyle e}\), misurato in termini di unità di Planck, è

\({\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}\cdot q_{\text{P}}\approx 0.302822121\cdot q_{\text{P}}\,}\) (Versione Lorentz – Heaviside)
\({\displaystyle e={\sqrt {\alpha }}\cdot q_{\text{P}}\approx 0.085424543\cdot q_{\text{P}}\,}\) (Versione gaussiana)

dove \({\displaystyle {\alpha }}\) è la costante di struttura fine

\({\displaystyle \alpha ={\frac {k_{e}e^{2}}{\hbar c}}\approx {\frac {1}{137.03599911}}}\)
\({\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {e}{q_{\text{P}}}}\right)^{2}}\)
\({\displaystyle \alpha =\left({\frac {e}{q_{\text{P}}}}\right)^{2}}\)

La costante della struttura fine \({\displaystyle \alpha }\) è anche chiamata la costante di accoppiamento elettromagnetico, confrontando così con la costante di accoppiamento gravitazionale \({\displaystyle \alpha _{G}}\). La massa di riposo dell'elettrone \({\displaystyle m_{e}}\) misurato in termini di massa di Planck, è

\({\displaystyle m_{e}={\sqrt {4\pi \alpha _{G}}}\cdot m_{\text{P}}\approx 1.48368\times 10^{-22}\cdot m_{\text{P}}\,}\)(Versione Lorentz – Heaviside)

\({\displaystyle m_{e}={\sqrt {\alpha _{G}}}\cdot m_{\text{P}}\approx 4.18539\times 10^{-23}\cdot m_{\text{P}}\,}\) (Versione gaussiana)

dove \({\displaystyle {\alpha _{G}}}\) è la costante di accoppiamento gravitazionale

\({\displaystyle \alpha _{G}={\frac {Gm_{e}^{2}}{\hbar c}}\approx 1.7518\times 10^{-45}}\)

\({\displaystyle \alpha _{G}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {m_{e}}{m_{\text{P}}}}\right)^{2}}\) (Versione Lorentz – Heaviside)

\({\displaystyle \alpha _{G}=\left({\frac {m_{e}}{m_{\text{P}}}}\right)^{2}}\)(Versione gaussiana)

Alcune unità Planck sono adatte per misurare quantità familiari dall'esperienza quotidiana. Per esempio:

Tuttavia, la maggior parte delle unità Planck ha molti ordini di grandezza troppo grandi o troppo piccoli per essere di uso pratico, quindi le unità Planck come sistema sono realmente rilevanti solo per la fisica teorica. In effetti, 1 unità Planck è spesso il valore più grande o più piccolo di una quantità fisica che ha senso secondo la nostra attuale comprensione. Per esempio:

Nelle unità di Planck abbiamo:

\({\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi }}}\) (Versione Lorentz – Heaviside)
\({\displaystyle \alpha =e^{2}}\) (Versione gaussiana)
\({\displaystyle \alpha _{G}={\frac {m_{e}^{2}}{4\pi }}}\) (Versione Lorentz – Heaviside)
\({\displaystyle \alpha _{G}=m_{e}^{2}}\) (Versione gaussiana)

dove

\({\displaystyle \alpha }\) è la costante di struttura fine
\({\displaystyle e}\) è la carica elementare
\({\displaystyle \alpha _{G}}\) è la costante di accoppiamento gravitazionale
\({\displaystyle m_{e}}\) è la massa di riposo dell'elettrone
Da qui la carica specifica dell'elettrone ( \({\displaystyle {\frac {e}{m_{e}}}}\) ) è \({\displaystyle {\sqrt {\frac {\alpha }{\alpha _{G}}}}}\) Carica specifica di Planck, in entrambe le versioni delle unità Planck.

Significato

Le unità Planck sono prive di arbitrarietà antropocentrica . Alcuni fisici sostengono che la comunicazione con l'intelligenza extraterrestre dovrebbe impiegare un tale sistema di unità per essere compresa.[34] A differenza del metro e del secondo, che esistono come unità di base nel sistema SI per ragioni storiche, la lunghezza di Planck e il tempo di Planck sono concettualmente collegati a un livello fisico fondamentale.

Mentre è vero che la forza repulsiva elettrostatica tra due protoni (solo nello spazio libero) supera di gran lunga la forza attrattiva gravitazionale tra gli stessi due protoni, non si tratta delle forze relative delle due forze fondamentali. Dal punto di vista delle unità Planck, si tratta di confrontare le mele con le arance, poiché la massa e la carica elettrica sono quantità incommensurabili . Piuttosto, la disparità di grandezza della forza è una manifestazione del fatto che la carica sui protoni è approssimativamente la carica unitaria ma la massa dei protoni è molto inferiore alla massa unitaria.

Cosmologia


Nella cosmologia del Big Bang, l’epoca di Planck o era di Planck è il primo stadio del Big Bang, prima che il tempo trascorso fosse uguale al tempo di Planck, t P, o circa 10 −43 secondi.[35] Al momento non esiste una teoria fisica disponibile per descrivere tempi così brevi, e non è chiaro in che senso il concetto di tempo sia significativo per valori inferiori al tempo di Planck. Si presume generalmente che gli effetti quantistici della gravità dominino le interazioni fisiche a questa scala temporale. Su questa scala, si presume che la forza unificata del Modello standard sia unificata con la gravitazione. Incommensurabilmente caldo e denso, lo stato dell'epoca di Planck fu seguito dall'epoca della grande unificazione, in cui la gravitazione è separata dalla forza unificata del Modello Standard, a sua volta seguita dall'epoca inflazionistica, che si concluse dopo circa 10 −32 secondi (o circa 10 10   t P ).[36]

Rispetto all'epoca di Planck, l'universo osservabile oggi sembra estremo quando espresso in unità di Planck, come in questo insieme di approssimazioni:[37][38]

Tabella 4: L'universo osservabile di oggi in unità di Planck
Proprietà dell'universo

osservabile

Espressione Hubble in unità di Planck unità di Hubble

(universo osservabile)

Eta di Hubble \({\displaystyle {\frac {_{1}}{H_{\text{0}}}}}\) 8,080 × 1060 tP 4,356 129 × 1017s

≈ 13,799 × 109 anni

Diametro di Hubble \({\displaystyle {\frac {2\pi \,c}{H_{\text{0}}}}}\) 5,076 81 × 1061 lP 8,205 43 × 1026 m ≈ 8,7 × 1023 km

≈ 9,2 × 1010 anni luce

Massa di Hubble \({\displaystyle {\frac {8\pi \,c}{H_{\text{0}}\,4\pi \,r_{s}}}\equiv {\frac {8\pi \,c^{3}}{3H_{\text{0}}G}}}\) 8,080 × 1060 mP6,769 × 1061 mP (con 8π/3) ≈ 1,758 6 × 1053 kg ≈ 1,76 × 1050 tonnellate

≈ 1,47 × 1054 kg (con 8π/3)

≈ 8,844 × 1022 masse solari (solo stelle)

≈ 2,945 × 1028 masse terrestre

≈ 1,051 × 1080 protoni (conosciuto come numero di Eddington)

Densità di Hubble \({\displaystyle {\frac {2\Lambda }{r_{s}}}={\frac {3\,H_{\text{0}}^{2}}{4\pi \,c^{2}\,r_{s}}}\equiv {\frac {3\,H_{\text{0}}^{2}}{8\pi \,G}}}\) 1.828 3 × 10−123 ρP

1,531 7 × 10−122 ρP

≈ 9,424 8 × 10−27 kg m−3

≈ 7,895 7 × 10−26 kg m−3 (senza 3/8π)

Pressione di Hubble

Energia del vuoto

\({\displaystyle {\frac {\Lambda \,c^{4}}{G}}={\frac {2\,\Lambda \,c^{2}}{r_{s}}}\equiv {\frac {3\,H_{\text{0}}^{2}c^{2}}{8\pi \,G}}}\) 1,531 7 × 10−122 pP ≈ 7,096 3 × 10−9 J m−3
Temperatura di Hubble 1,923 71 × 10−32 ΘP 2,72548 K ± 0,00057 K

≈ -270,43452 °C

≈ 160,23 GHz

≈ λ = 1,063 mm a 242 GHz

≈ 6,626 × 10−4 eV

≈ 0,25 eV/cm3

≈ 4,005 × 10−14 J/m3

Temperatura delle radiazioni cosmica di fondo

Carica di Hubble \({\displaystyle {\frac {2\,c\,q_{r_{\text{s}}}}{H_{\text{0}}r_{s}}}\equiv {\frac {8\pi \,c^{3}}{3H_{\text{0}}G}}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{\text{0}}G}}}\) 8,080 × 1060 qP ≈ 1,515 4 × 1043 C
Accelerazione di Hubble \({\displaystyle {H_{\text{0}}}c}\) 1,237 623 × 10−61 aP ≈ 6,882 084 × 10−10 m s−2 ≈ 7 × 10−11 g Terresti
Costante cosmologica, Λ \({\displaystyle \Lambda \equiv \left({\frac {H_{\text{0}}}{2\pi \,c}}\right)^{2}}\) 5,429 77 × 10−122 t−2P

2,883 89 × 10−122 l−2P (con 8π/3)

≈ 1,868 11 × 10−35 s−2

≈ 1,103 52 × 10−52 m−2

Costante di Hubble \({\displaystyle {H_{\text{0}}}}\) 1,237 623 × 10−61 tP-1 ≈ 2,295 616 × 10−18 s−1 ≈ 70,835 31 (km/s)/Mpc
Costante di accoppiamento di Hubble \({\displaystyle {\alpha _{H}}_{\text{0}}\equiv \left({\frac {_{Massa}{H}_{\text{0}}}{m_{P}}}\right)^{2}\equiv {\frac {G}{\hbar \,c}}\left({\frac {8\pi \,c^{3}}{3H_{\text{0}}G}}\right)^{2}}\) 6,528 65 × 10121

4,582 × 10123 (con 8π/3)

≈ 3,092 53 × 10106 Massa H02 = Massa di Hubble al quadrato

≈ 2,170 46 × 10108 Massa H02 (con 8π/3)

Entropia di Hubble \({\displaystyle {S_{H}}_{\text{0}}={\alpha _{H}}_{\text{0}}k_{B}\equiv {\frac {\Lambda ^{-2}k_{B}}{4\,l_{\text{P}}^{2}}}\equiv {\frac {c^{5}k_{B}}{\hbar \,G\,H_{\text{0}}^{2}}}}\) 6,528 65 × 10121

1,632 × 10123 (1/4)

4,582 × 10123 (con 8π/3)

2,2534419 × 1098 J/K (con 1/4)9,013 768 × 1098 J/K

7,551 356 × 1099 J/K (con 8π/3)

Informazione teorica di Hubble

secondo il limite di Benkestein[39][40][41][42][43]

\({\displaystyle {\frac {2\pi \,{\alpha _{H}}_{\text{0}}}{Log[2]}}\equiv \left({\frac {2\pi \,c\,_{distanza}{H}_{\text{0}}\,_{Massa}{H}_{\text{0}}}{\hbar \,Log[2]}}\right)}\) 6,528645×10122 Ibits P Ibits ≈ 5,918 034 × 10122 bits

Ibytes ≈ 7,397 543 × 10121 bytes

≈ 2407,84 Ibits ≈ 2404,84 Ibytes

≈ 7,4 × 10109 TB (TeraBytes)

≈ 7,4 × 10112 GB (GigaBytes)

≈ 7,4 × 10115 MB (MegaBytes)

L'Informazione di Hubble che può avere l'universo osservabile di dati secondo Seth LIyod[44] e Jacob Benkeisten[45] sugli studi dell'entropia dei buchi neri. Questo enorme valore ci dice quanto dati possiamo archiviare teoricamente, circa 7,4 × 10109 TeraBytes, su una chiavetta USB che possa avere questa capacità. Ma per avere questa capacità teorica dovrebbe usare la stessa massa/energia dell'intero universo osservabile di oggi. Cioè l'analogia è che la massa di Hubble, quindi la massa del universo può avere massimo 7,4 × 10109 TeraBytes di dati sapendo che ogni unità di Planck al quadrato può avere 1,133 bytes di dati. Quindi la radice quadrata delle unità di Planck e circa 1,0645 \({\displaystyle {\sqrt {_{Bytes}}}}\). l'intera massa di Hubble a circa 8,08 × 1060 unità di Plack, per 1,0645 \({\displaystyle {\sqrt {_{Bytes}}}}\) di singola unità di Planck porta a 7,4 × 10109 TeraBytes. in bits sarà la radice quadrata di 9,065 bits della costante di accoppiamento di Planck, ovvero unità di Planck al quadrato. Diventerà 3,011 \({\displaystyle {\sqrt {_{bits}}}}\) di singola unità di Planck per l'intera massa di Hubble a circa 8,08 × 1060 unità di Plack uguale a 5,918 × 10122 bits. Questo calcolo deriva da Jacob Benkestein che usava non la massa di Planck ma area di Planck secondo la sua formula dell'entropia di un buco nero che è area di superficie divisa 4 area di Planck.

La ricorrenza di grandi numeri vicino o correlata a 10 60 nella tabella sopra è una coincidenza che incuriosisce alcuni teorici. È un esempio del tipo di coincidenza di grandi numeri che ha portato teorici come Eddington e Dirac a sviluppare teorie fisiche alternative (ad esempio una velocità della luce variabile o la teoria di G variabile di Dirac ).[46] Dopo la misurazione della costante cosmologica nel 1998, stimata in 10-122 unità di Planck, è stato notato che ciò è suggestivamente vicino al reciproco dell'età dell'universo al quadrato.[47] Barrow and Shaw (2011) hanno proposto una teoria modificata in cui Λ è un campo che si evolve in modo tale che il suo valore rimanga Λ ~ T −2 per tutta la storia dell'universo.[48]

Tabella 5: Alcuni quantità fisiche comuni in unità di Planck
Quantities versione in Lorentz–Heaviside

in unità di Planck

versione di Gaussian

in unità di Planck

Gravità standard (\({\displaystyle \mathrm {g} }\)) 6,25154×10−51 \({\displaystyle a_{\text{P}}}\) 1,76353×10−51 \({\displaystyle a_{\text{P}}}\)
Atmosfera standard (\({\displaystyle {\mathsf {atm}}}\)) 3,45343×10−108 \({\displaystyle p_{\text{P}}}\) 2,18691×10−109 \({\displaystyle p_{\text{P}}}\)
Tempo astronomico solare 4,52091×1047 \({\displaystyle t_{\text{P}}}\) 1,60262×1048 \({\displaystyle t_{\text{P}}}\)
Raggio equatoriale della Terra 1,11323×1041 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\) 3,94629×1041 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\)
Circonferenza equatoriale della Terra 6,99465×1041 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\) 2,47954×1042 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\)
Diametro dell'universo osservabile 1,53594×1061 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\) 5,44477×1061 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\)
Volume della Terra 1,89062×1055 \({\displaystyle l_{\text{P}}^{3}}\) 6,70208×1055 \({\displaystyle l_{\text{P}}^{3}}\)
Volume dell'universo osservabile 6,98156×10114 \({\displaystyle l_{\text{P}}^{3}}\) 2,47490×10115 \({\displaystyle l_{\text{P}}^{3}}\)
Massa della Terra 9,72717×1032 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\) 2,74398×1032 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\)
Massa dell'universo osservabile 2,37796×1061 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\) 6,70811×1060 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\)
Desità media della Terra 1,68905×10−91 \({\displaystyle \rho _{\text{P}}}\) 1,06960×10−93 \({\displaystyle \rho _{\text{P}}}\)
Densità dell'universo osservabile 3,03257×10−121 \({\displaystyle \rho _{\text{P}}}\) 1,92040×10−123 \({\displaystyle \rho _{\text{P}}}\)
Età della Terra 7,49657×1059 \({\displaystyle t_{\text{P}}}\) 2,65747×1060 \({\displaystyle t_{\text{P}}}\)
Età dell'universo (tempo di Hubble) 2,27853×1060 \({\displaystyle t_{\text{P}}}\) 8,07719×1060 \({\displaystyle t_{\text{P}}}\)
Temperatura media della Terra 7,18485×10−30 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\) 2,02681×10−30 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\)
Temperatura dell'universo 6,81806×10−32 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\) 1,92334×10−32 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\)
Costante di Hubble (\({\displaystyle H_{0}}\)) 4,20446×10−61 \({\displaystyle t_{\text{P}}^{-1}}\) 1,18605×10−61 \({\displaystyle t_{\text{P}}^{-1}}\)
Costante cosmologica (\({\displaystyle \Lambda }\)) 3,62922×10−121 \({\displaystyle l_{\text{P}}^{-2}}\) 2,88805×10−122 \({\displaystyle l_{\text{P}}^{-2}}\)
Densità del vuoto energetico (\({\displaystyle \rho _{\text{0}}}\)) 1,82567×10−121 \({\displaystyle \rho _{\text{P}}}\) 1,15612×10−123 \({\displaystyle \rho _{\text{P}}}\)
Punto di evaporazione dell'acqua 6,83432×10−30 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\) 1,92793×10−30 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\)
Punto di ebollizione dell'acqua 9,33636×10−30 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\) 2,63374×10−30 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\)
Pressione del punto triplo dell'acqua 2,08469×10−109 \({\displaystyle p_{\text{P}}}\) 1,32015×10−111 \({\displaystyle p_{\text{P}}}\)
Temperatura del punto triplo dell'acqua 6,83457×10−30 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\) 1,92800×10−30 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\)
Densità dell'acqua 3,06320×10−92 \({\displaystyle \rho _{\text{P}}}\) 1,93980×10−94 \({\displaystyle \rho _{\text{P}}}\)
Calore specifico dell'acqua 1,86061×1018 \({\displaystyle c_{\text{P}}}\) 6,59570×1018 \({\displaystyle c_{\text{P}}}\)
Volume molare ideale (\({\displaystyle V_{m}}\)) 2,00522×1077 \({\displaystyle {\mathcal {V}}_{\text{P}}}\) 8,93256×1078 \({\displaystyle {\mathcal {V}}_{\text{P}}}\)
Carica elementare (\({\displaystyle e}\)) 3,02822×10−1 \({\displaystyle q_{\text{P}}}\) 8,54245×10−2 \({\displaystyle q_{\text{P}}}\)
Massa dell'elettrone (\({\displaystyle m_{e}}\)) 1,48368×10−22 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\) 4,18539×10−23 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\)
Massa del protone (\({\displaystyle m_{p}}\)) 2,72427×10−19 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\) 7,68502×10−20 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\)
Massa del neutrone (\({\displaystyle m_{n}}\)) 2,72802×10−19 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\) 7,69562×10−20 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\)
Massa atomica costante (\({\displaystyle u}\)) 2,70459×10−19 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\) 7,62951×10−20 \({\displaystyle m_{\text{P}}}\)
Rapporto carica-massa dell'elettrone (\({\displaystyle \xi _{e}}\)) −2,04102×1021 \({\displaystyle q_{\,r_{\text{s}}}}\)
Rapporto carica-massa del protone (\({\displaystyle \xi _{e}}\)) 1,11157×1018 \({\displaystyle q_{\,r_{\text{s}}}}\)
giromagneto del protone (\({\displaystyle \gamma _{p}}\)) 3,10445×1018 \({\displaystyle \Theta _{\text{P}}}\)
Momento magnetico dell'elettrone (\({\displaystyle \mu _{e}}\)) −1,02169×1021 \({\displaystyle {\mu _{d}}_{\text{P}}}\)
Momento magnetico del protone (\({\displaystyle \mu _{p}}\)) 1,55223×1018 \({\displaystyle {\mu _{d}}_{\text{P}}}\)
Costante di Fareday (\({\displaystyle F}\)) 3,02822×10−1 \({\displaystyle {q_{\text{P}}}N_{A}}\) 8,54245×10−2 \({\displaystyle {q_{\text{P}}}N_{A}}\)
Raggio di Bohr (\({\displaystyle a_{0}}\)) 9,23620×1023 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\) 3,27415×1024 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\)
Magnetone di Bohr (\({\displaystyle \mu _{B}}\)) 1,02051×1021 \({\displaystyle {\frac {{\bf {E}}_{\text{P}}}{{\bf {B}}_{\text{P}}}}}\)
Flusso magnetico quantistico (\({\displaystyle \varphi _{0}}\)) 10,3744 \({\displaystyle {\phi }_{\text{P}}^{E}}\) 36,7762 \({\displaystyle {\phi }_{\text{P}}^{E}}\)
Raggio classico dell'elettrone (\({\displaystyle r_{e}}\)) 4,91840×1019 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\) 1,74353×1020 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\)
Compton wavelength dell'elettrone (\({\displaystyle \lambda _{c}}\)) 2,71873×1028 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\) 9,63763×1028 \({\displaystyle l_{\text{P}}}\)
Costante di Rydberg (\({\displaystyle R_{\infty }}\)) 6,28727×10−28 \({\displaystyle l_{\text{P}}^{-1}}\) 1,77361×10−28 \({\displaystyle l_{\text{P}}^{-1}}\)
Costante di Josephson (\({\displaystyle K_{J}}\)) 9,63913×10−2 \({\displaystyle {\frac {_{1}}{\phi _{\text{P}}t_{\text{P}}}}}\) 2,71915×10−2 \({\displaystyle {\frac {_{1}}{\phi _{\text{P}}t_{\text{P}}}}}\)
Costante di von Klitzing (\({\displaystyle R_{K}}\)) 68.5180 \({\displaystyle Z_{\text{P}}}\) 861.023 \({\displaystyle Z_{\text{P}}}\)
Costante di Stefan–Boltzmann (\({\displaystyle \sigma }\)) 1,64493×10−1 \({\displaystyle {\frac {P_{\text{P}}}{l_{\text{P}}^{2}\,\Theta _{\text{P}}^{4}}}}\)

Semplificazione delle equazioni


Le quantità fisiche che hanno dimensioni diverse (come il tempo e la lunghezza) non possono essere equiparate anche se sono numericamente uguali (1 secondo non è uguale a 1 metro). Nella fisica teorica, tuttavia, questo scrupolo può essere messo da parte, mediante un processo chiamato non dimensionalizzazione. La tabella 6 mostra come l'uso delle unità di Planck semplifichi molte equazioni fondamentali della fisica, poiché ciò conferisce a ciascuna delle cinque costanti fondamentali, e prodotti di esse, un semplice valore numerico di 1 . Nel modulo SI, le unità devono essere contabilizzate. Nella forma non dimensionata, le unità, che ora sono unità di Planck, non devono essere scritte se ne viene compreso l'uso.

Tabella 6: Equazioni usate spesso nelle unità di Planck
Nome Equazione Unità Naturali di Planck
Versione Lorentz–Heaviside Versione Gaussian
Proprietà delle Forze
Legge di gravitazione universale di Newton \({\displaystyle F_{_{N}}=-G\,{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}\) \({\displaystyle F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{4\pi r^{2}}}}\) \({\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}\)
Forza di Coulomb per cariche elettriche \({\displaystyle F_{e}=k_{e}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}={\frac {_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}\) \({\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi r^{2}}}}\) \({\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}\)
Forza di Coulomb per cariche magnetiche \({\displaystyle F_{m}=k_{m}{\frac {b_{1}b_{2}}{r^{2}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {b_{1}b_{2}}{r^{2}}}}\) \({\displaystyle F={\frac {b_{1}b_{2}}{4\pi \,r^{2}}}}\) \({\displaystyle F={\frac {b_{1}b_{2}}{r^{2}}}}\)
Forza Entropica[49] \({\displaystyle F_{\Theta }\Delta x={T}\,\Delta \,{\bf {S}}}\)

\({\displaystyle F_{\Theta }=-{\frac {G\,k_{B}^{2}}{c^{4}}}{\frac {\Theta _{1}\Theta _{2}}{r^{2}}}}\)

\({\displaystyle F_{\Theta }={\frac {k_{B}^{2}}{\hbar c}}\Theta _{1}\Theta _{2}\equiv {\frac {\pi \,\mu _{0}}{\alpha \,c^{2}}}\,{\Theta _{1}\Theta _{2}}}\)

\({\displaystyle F_{\Theta }=-{k_{B}^{2}}{\frac {\Theta _{1}\Theta _{2}}{4\pi \,r^{2}}}}\) \({\displaystyle F_{\Theta }=-{k_{B}^{2}}{\frac {\Theta _{1}\Theta _{2}}{r^{2}}}}\)
Gravità Entropica[49] proposto da Eric Verlinde e Ted Jacobson \({\displaystyle F_{\Phi }={\frac {F_{_{N}}}{N}}={\frac {F_{_{N}}\,4\pi \,r^{2}\,\Theta }{l_{P}^{2}\,T_{_{uruh}}}}=m{\frac {4\pi c}{\hbar }}{\frac {E}{N}}=m{\frac {4\pi c^{3}}{\hbar }}{\frac {M}{N}}=m\,4\pi {\frac {GM}{r^{2}}}=G{\frac {mM}{r^{2}}}}\)

\({\displaystyle N={\frac {A_{BH}}{\ell _{P}^{2}}}={\frac {4\pi \,r^{2}}{l_{P}^{2}}}={\frac {4\pi \,r^{2}c^{3}}{\hbar \,G}}}\)

\({\displaystyle F_{\Phi }={\frac {F_{\Theta }}{F_{e}}}=-{\frac {G\,k_{B}^{2}}{c^{4}\,k_{e}}}{\frac {\Theta _{1}\Theta _{2}}{q_{1}q_{2}}}}\)

\({\displaystyle F_{\Phi }={\frac {\Phi ^{2}\,F_{\Theta }}{F_{_{N}}}}={\frac {k_{B}^{2}}{G}}{\frac {\Theta _{1}\Theta _{2}}{m_{1}m_{2}}}}\)

\({\displaystyle F_{\Phi }=-{\frac {k_{B}^{2}}{k_{e}}}={\frac {\Theta _{1}\Theta _{2}}{q_{1}q_{2}}}}\)

Proprietà dei Quanti
Energia di un fotone o di una particella d'impulso \({\displaystyle {\nu }-{\omega }}\) \({\displaystyle {E=h\nu }\ }\)

\({\displaystyle {E=\hbar \omega }\ }\)

\({\displaystyle E=\hbar \omega =h\nu ={\frac {hc}{\lambda }}}\)

\({\displaystyle {E=2\pi \nu }\ }\)

\({\displaystyle {E=\omega }\ }\)

\({\displaystyle E=\omega =2\pi \nu ={\frac {2\pi }{\lambda }}}\)

Momento di un fotone \({\displaystyle p=\hbar \,k={\frac {h\nu }{c}}={\frac {h}{\lambda }}}\) \({\displaystyle p=k=2\pi \nu ={\frac {2\pi }{\lambda }}}\)
Lunghezza d'onda e lunghezza d'onda Compton e Ipotesi di de Broglie (come materia d'onda) \({\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}}={\frac {2\pi \hbar }{mv}}}\)

\({\displaystyle \lambda _{2\pi }={\frac {\hbar }{mv}}}\)

\({\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{mv}}}\)\({\displaystyle \lambda _{2\pi }={\frac {1}{mv}}}\)
La formula e lunghezza d'onda Compton e Ipotesi di de Broglie \({\displaystyle \lambda ={\frac {h}{m\,c}}={\frac {2\pi \hbar }{m\,c}}}\)

\({\displaystyle \lambda _{2\pi }={\frac {\hbar }{m\,c}}}\)

\({\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{m\,c}}}\)

\({\displaystyle \lambda _{2\pi }={\frac {_{1}}{m\,c}}}\)

La celebre formula E=mc² di Einstein \({\displaystyle {E=mc^{2}}\ }\) \({\displaystyle {E=m}\ }\)
Relazione energia-momento \({\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}\;}\) \({\displaystyle E^{2}=m^{2}+p^{2}\;}\)
Principio di indeterminazione di Heisenberg \({\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}\) \({\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {1}{2}}}\)
Equazione di Schrödinger in forma Hamiltoniana \({\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =H\cdot \psi }\) \({\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =H\cdot \psi }\)
Forma di Hamilton dell'Equazione di Schrödinger \({\displaystyle H\left|\psi _{t}\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi _{t}\right\rangle }\) \({\displaystyle H\left|\psi _{t}\right\rangle =i{\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi _{t}\right\rangle }\)
Forma covariante dell'Equazione di Dirac \({\displaystyle \ (\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+imc)\psi =0}\) \({\displaystyle \ (\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+im)\psi =0}\)
Equazione di Schrödinger \({\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}\) \({\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}\)
Proprietà Atomiche
Costante di struttura fine \({\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}={\frac {e^{2}}{2\varepsilon _{0}hc}}={\frac {ke^{2}}{\hbar c}}}\) \({\displaystyle {4\alpha }}\) \({\displaystyle {\frac {\alpha }{\pi }}}\)
Costante di accopiamento gravitazionale \({\displaystyle \alpha _{\mathrm {G} }={\frac {G\,m_{\mathrm {e} }^{2}}{\hbar \,c}}=\left({\frac {m_{\mathrm {e} }}{m_{\mathrm {P} }}}\right)^{2}}\)
Elettronvolt \({\displaystyle {eV}=\phi \,\,q={1}_{_{volt}}\,e}\)
Flusso magnetico: costante di Josephson KJ \({\displaystyle K_{J}={\frac {e}{\pi \hbar }}}\) \({\displaystyle K_{J}={\sqrt {\frac {4\alpha }{\pi }}}}\) \({\displaystyle K_{J}={\frac {\sqrt {\alpha }}{\pi }}}\)
Effetto Hall quantistico: costante di Von Klitzing RK \({\displaystyle R_{K}={\frac {2\pi \,\hbar }{e^{2}}}}\) \({\displaystyle R_{K}={\frac {_{1}}{2\,\alpha }}}\) \({\displaystyle R_{K}={\frac {2\pi }{\alpha }}}\)
Raggio di Bhor di un atomo \({\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \,\varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}}={\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c\,\alpha }}}\) \({\displaystyle a_{0}={\frac {_{1}}{\sqrt {4\pi \,\alpha ^{2}\alpha _{G}}}}}\) \({\displaystyle a_{0}={\frac {_{1}}{\sqrt {\alpha ^{2}\alpha _{G}}}}}\)
Nucleo magnetico di Bhor \({\displaystyle \mu _{\mathbf {B} }={\frac {e\,\hbar }{2\,m_{e}}}}\) \({\displaystyle \mu _{\mathbf {B} }={\sqrt {\frac {\alpha }{4\,\alpha _{G}}}}}\)
Costante di Rydberg R \({\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}={\frac {\alpha ^{2}m_{\text{e}}c}{4\pi \,\hbar }}}\) \({\displaystyle R_{\infty }={\sqrt {\frac {\alpha ^{4}\alpha _{G}}{4\pi }}}}\)
Rapporto di carica-massa dell'ellettrone \({\displaystyle \xi _{e}={\frac {e}{m_{e}}}={\sqrt {\frac {\alpha \,G}{k_{e}\alpha _{G}}}}={\sqrt {\frac {4\pi \varepsilon _{0}G\,\alpha }{\alpha _{G}}}}}\) \({\displaystyle \xi _{e}={\sqrt {\frac {\alpha }{\alpha _{G}}}}}\)
Costante di Avogadro NA \({\displaystyle N_{A}={\frac {R}{k_{B}}}}\)

\({\displaystyle n_{0}={\frac {p_{0}N_{\rm {A}}}{R\,T_{0}}}{\frac {R}{k_{B}}}}\)

Costante di Fareday Fe \({\displaystyle N\,q=N_{A}\,e}\)
Proprietà Termodinamiche
Beta termodinamica, temperatura inversa ''β'' \({\displaystyle \beta ={\frac {_{1}}{k_{B}T}}}\)
Temperature termodinamica ''Θ, T'' \({\displaystyle \Theta =\tau =k_{B}T}\)

\({\displaystyle \Theta =k_{B}{\frac {\partial U}{\partial S}}_{N}}\)

\({\displaystyle \Theta ^{-1}={\frac {_{1}}{k_{B}}}{\frac {\partial S}{\partial U}}_{N}}\)

Entropia ''S'' \({\displaystyle S=-k_{B}\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}}\)

\({\displaystyle S=-{\frac {\partial F}{\partial \,T}}_{V}}\)

\({\displaystyle S=-{\frac {\partial G}{\partial \,T}}_{N,P}}\)

Entropia dell'informazione di Shannon \({\displaystyle \mathrm {H} (X)=-\sum _{i=1}^{n}{\mathrm {P} (x_{i})\log _{b}\mathrm {P} (x_{i})}}\)
Pressione ''p'' \({\displaystyle p=-{\frac {\partial F}{\partial \,V}}_{T,N}}\)

\({\displaystyle p=-{\frac {\partial U}{\partial \,V}}_{S,N}}\)

Energia interna ''U'' \({\displaystyle U=\sum _{i}E_{i}}\)
Entalpia ''H'' \({\displaystyle H=U+pV}\)
Funzione di partizione (meccanica statistica) ''Z'' \({\displaystyle Z}\)
Energia libera di Gibbs ''G'' \({\displaystyle G=H-TS}\)
Energia libera di Helmholtz ''F'' \({\displaystyle F=U-TS}\)
Energia libera di Landau, grande potenziale \({\displaystyle \Omega _{G}=U-TS-\mu N}\)
Potenziale di Massieu, entropia libera di Helmholtz \({\displaystyle \phi _{F}=S-{\frac {U}{T}}}\)
Potenziale di Planck, entropia libera di Gibbs \({\displaystyle \Xi =\Phi -p{\frac {V}{T}}}\)
Relazioni di Maxwell: \({\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial P}{\partial S}}\right)_{V}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial S\partial V}}}\)

\({\displaystyle +\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}=-{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T\partial V}}}\)

\({\displaystyle -\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}={\frac {\partial ^{2}G}{\partial T\partial P}}}\)

Potenziale chimico \({\displaystyle \mu _{i}}\) \({\displaystyle \mu _{i}=\left({\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right)_{N_{j\neq i},S,V}}\)

\({\displaystyle \mu _{i}=\left({\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}\right)_{T,V}}\)

Dove F non è proporzionale di N perché μ_i dipende dalla pressione.

\({\displaystyle \mu _{i}=\left({\frac {\partial G}{\partial N_{i}}}\right)_{T,P}}\)

Dove G è proporzionale a N (purché la composizione del rapporto molare del sistema rimanga la stessa) perché μ_i dipende solo dalla temperatura, dalla pressione e dalla composizione.

\({\displaystyle {\frac {\mu _{i}}{\tau }}=-{\frac {_{1}}{k_{B}}}\left({\frac {\partial S}{\partial N_{i}}}\right)_{U,V}}\)

Calore generale, capacità termica \({\displaystyle C={\frac {\partial Q}{\partial T}}}\)
capacità termica (isobarica) \({\displaystyle C_{p}={\frac {\partial H}{\partial T}}}\)
Calore specifico (isobarica) \({\displaystyle C_{mp}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial m\,\partial T}}}\)
Calore specifico molare (isobarica) \({\displaystyle C_{np}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial n\,\partial T}}}\)
capacità termica (isocorica/volumetrica) \({\displaystyle C_{V}={\frac {\partial U}{\partial T}}}\)
Calore specifico (isocorica) \({\displaystyle C_{mV}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial m\,\partial T}}}\)
Calore specifico molare (isocorica) \({\displaystyle C_{nV}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial n\,\partial T}}}\)
Calore specifico latente \({\displaystyle L={\frac {\partial Q}{\partial m}}}\)
Rapporto tra capacità di calore isobarica e isocorica, rapporto di capacità termica, indice adiabatico. Rapporto di Mayer \({\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{c_{V}}}={\frac {c_{p}}{c_{V}}}={\frac {C_{mp}}{c_{mV}}}}\)
Gradiente della temperatura \({\displaystyle \nabla \cdot T}\)
Velocità di conduzione termica, corrente termica, flusso termico, potenza di calore. \({\displaystyle P=\mathrm {d} Q/\mathrm {d} t}\)
Intesità di calore \({\displaystyle I=\mathrm {d} P/\mathrm {d} A}\)
Densità del flusso termico (analogo vettoriale dell'intensità termica sopra) \({\displaystyle Q=\iint \mathbf {q} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \mathrm {d} t}\)
Proprietà Quantistiche Termiche \({\displaystyle U=Nk_{B}T^{2}\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial T}}\right)_{V}}\)

\({\displaystyle S={\frac {U}{T}}+N}\)

\({\displaystyle {\ce {S={\frac {U}{T}}+Nk_{B}\ln Z-Nk\ln N+Nk}}}\)

Grado di libertà

Funzione di partizione

\({\displaystyle Z_{t}={\frac {(2\pi mk_{B}T)^{\frac {3}{2}}V}{h^{3}}}}\) Traslazione

\({\displaystyle Z_{v}={\frac {1}{1-e^{\frac {-h\omega }{2\pi k_{B}T}}}}}\) Vibrazione

\({\displaystyle Z_{r}={\frac {2Ik_{B}T}{\sigma ({\frac {h}{2\pi }})^{2}}}}\) Rotazione

Definizione della temperatura per l'energia d'una particella per grado di libertà \({\displaystyle {E={\frac {1}{2}}k_{B}\Theta }\ }\) \({\displaystyle {E={\frac {1}{2}}\Theta }\ }\)
Legge di Boltzmann per l'entropia \({\displaystyle {S=k_{B}\ln \Omega }\ }\) \({\displaystyle {S=\ln \Omega }\ }\)
Legge di Planck (intensità di superficie per unità d'angolo solido per unità di frequenza angolare) per un corpo nero a temperatura Θ. \({\displaystyle I(\omega ,\Theta )={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}~{\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}\Theta }}-1}}}\) \({\displaystyle I(\omega ,\Theta )={\frac {\omega ^{3}}{4\pi ^{3}}}~{\frac {1}{e^{\omega /\Theta }-1}}}\)
Costante dei gas \({\displaystyle R=N_{\rm {A}}k_{B}}\)

\({\displaystyle R={\frac {PV}{nT}}}\)

Equazione di stato dei gas perfetti \({\displaystyle P\,V=n\,R\,T=N\,k_{\text{B}}T}\) \({\displaystyle P\,V=N\,T}\)
Equazioni medie della velocità dei gas \({\displaystyle v_{rms}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}}}\) \({\displaystyle v_{rms}={\sqrt {\frac {3T}{m}}}}\)
Teoria cinetica dei gas \({\displaystyle \Sigma {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {3}{2}}Nk_{\text{B}}T}\) \({\displaystyle \Sigma {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {3}{2}}NT}\)
Legge di Wien per la temperatura

W = 4.965114231744276303698759131322893944...

\({\displaystyle T\cdot \lambda _{max}={\frac {C_{2}}{_{W}}}={\frac {h\,c}{k_{B}{_{{\bigl [}5+W(-5e^{-5}){\bigr ]}}}}}}\)
Costante di prima radiazione C1L \({\displaystyle C_{1\,L}=2\,{h\,c^{2}}}\)
Località di Panck, seconda radiazione costante \({\displaystyle C_{2}={\frac {h\,c}{k_{B}}}}\) \({\displaystyle C_{2}={\frac {_{1}}{4\pi \,k_{B}}}}\) \({\displaystyle C_{2}={\frac {_{1}}{k_{B}}}}\)
Costante di Stefan-Boltzmann \({\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}}\) \({\displaystyle \ \sigma =\pi ^{2}/60}\)
Efetto di Unruh per la temperatura \({\displaystyle \Theta =T={\frac {\hbar a}{2\pi ck_{B}}}}\) \({\displaystyle \Theta =T={\frac {a}{2\pi }}}\)
Energia termica delle particelle libere \({\displaystyle {E={\tfrac {1}{2}}k_{\text{B}}T}\ }\) \({\displaystyle {E={\tfrac {1}{2}}T}\ }\)
Legge di Boltzmann per entropia \({\displaystyle {S=k_{\text{B}}\ln \Omega }\ }\) \({\displaystyle {S=\ln \Omega }\ }\)
Temperatura di Hawking per i buchi neri \({\displaystyle T_{H}={\frac {\hbar }{ck_{\mathrm {B} }}}{\frac {\kappa }{2\pi }}}\)

\({\displaystyle T_{H}={\frac {\hbar c^{3}}{8\pi GMk_{B}}}}\)

\({\displaystyle T_{H}={\frac {1}{2M}}}\) \({\displaystyle T_{H}={\frac {1}{8\pi M}}}\)
Accelerazione di superficie per i buchi neri \({\displaystyle k={\frac {\hbar c^{3}}{4GMk_{B}}}}\) \({\displaystyle k={\frac {1}{4M}}}\)
Entropia dei buchi neri di Bekenstein-Hawking \({\displaystyle S_{BH}={\frac {A_{BH}k_{B}c^{3}}{4G\hbar }}={\frac {4\pi m_{BH}^{2}k_{B}G}{\hbar c}}}\) \({\displaystyle S_{BH}=\pi A_{BH}=m_{BH}^{2}}\) \({\displaystyle S_{BH}={\frac {A_{BH}}{4}}=4\pi \,m_{BH}^{2}}\)
Tempo delle radazioni di Hawking per i buchi neri \({\displaystyle P={\hbar \,c^{6} \over 15\,360\,\pi \,G^{2}M^{2}}}\)

\({\displaystyle t_{\operatorname {ev} }={5120\,\pi \,G^{2}M_{0}^{\,3} \over \hbar \,c^{4}}}\)

Proprietà dell'Elettromagnetismo
Permeabilità magnetica nel vuoto \({\displaystyle \mu _{0}={\frac {_{1}}{\varepsilon _{0}c^{2}}}}\) \({\displaystyle \mu _{0}=1}\) \({\displaystyle \mu _{0}=4\pi }\)
Costante di Coulomb \({\displaystyle k_{e}={\frac {_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}}\) \({\displaystyle k_{e}={\frac {_{1}}{4\pi }}}\) \({\displaystyle k_{e}=1}\)
Costante di Coulomb magnetica \({\displaystyle k_{m}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}={\frac {_{1}}{4\pi \,\varepsilon _{0}c^{2}}}}\) \({\displaystyle k_{m}={\frac {_{1}}{4\pi }}}\) \({\displaystyle k_{m}=1}\)
Carica magnetica \({\displaystyle b=q_{m}=q\,v=e\,c}\)
Corrente magnetica \({\displaystyle I_{m}={\frac {\partial \,b}{t}}=q\,a=I\,v}\)
Impedenza caratteristica del vuoto \({\displaystyle Z_{0}={\frac {\mathbf {E} }{\mathbf {H} }}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}={\frac {_{1}}{\varepsilon _{0}c}}=\mu _{0}c}\) \({\displaystyle Z_{0}=1}\) \({\displaystyle Z_{0}=4\pi }\)
Ammetanza caratteristica del vuoto \({\displaystyle Y_{0}={\frac {\mathbf {H} }{\mathbf {E} }}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{\mu _{0}}}}=\varepsilon _{0}c={\frac {_{1}}{\mu _{0}c}}}\) \({\displaystyle Y_{0}=1}\) \({\displaystyle Y_{0}={\frac {_{1}}{4\pi }}}\)
Equazioni del campo elettrico e dell'Induzione elettrica \({\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} }\) \({\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {E} }\) \({\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {E} }{4\pi }}}\)
Equazioni del campo magnetico e dell'Induzione magnetica \({\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}\,\mathbf {H} }\) \({\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {H} }\) \({\displaystyle \mathbf {B} =4\pi \,\mathbf {H} }\)
Legge di Biot–Savart \({\displaystyle \Delta B={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\Delta L}{r^{2}}}\sin \theta }\) \({\displaystyle \Delta B={\frac {I}{4\pi }}{\frac {\Delta L}{r^{2}}}\sin \theta }\) \({\displaystyle \Delta B=I{\frac {\Delta L}{r^{2}}}\sin \theta }\)
Magnetostatica di Biot-Savart \({\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}}\) \({\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}}\) \({\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}}\)
Equazioni di Maxwell \({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi {\rho }}\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }\)

Forza di Lorentz dell'elettromagnetismo di Maxwell \({\displaystyle \mathbf {F_{\text{e}}} =q\left(\mathbf {E} \ +\ \mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}\)
Vettore di Poynting

Intensità, W/m2

\({\displaystyle {\mathcal {S}}=c^{2}\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }\) \({\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {_{1}}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }\) \({\displaystyle {\mathcal {S}}=\mathbf {E} \times \mathbf {B} }\)
Proprità della Gravità
La formula del raggio di Schwarzschild \({\displaystyle r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}}\) \({\displaystyle r_{s}={\frac {m}{2\pi }}}\) \({\displaystyle r_{s}=2m}\)
Carica di Schwarzschild \({\displaystyle Q_{r_{s}}={\frac {q_{P}}{m_{P}}}={\sqrt {\frac {G}{k_{e}}}}={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}\,G}}}\)
Legge di Gauss per la gravità \({\displaystyle \mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}\)
\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho }\)
\({\displaystyle \mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-M}\)
\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-\rho }\)
\({\displaystyle \mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi M}\)
\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi \rho }\)
Equazioni di Poisson \({\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =4\pi G\rho }\)
\({\displaystyle \phi (r)={\dfrac {-Gm}{r}}}\)
\({\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =\rho }\)
\({\displaystyle \phi (r)={\dfrac {-m}{4\pi r}}}\)
\({\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =4\pi \rho }\)
\({\displaystyle \phi (r)={\dfrac {-m}{r}}}\)
Gravità quantistica come formula principale \({\displaystyle \Delta r_{s}\Delta r\geq {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\) \({\displaystyle \Delta r_{s}\Delta r\geq {\frac {1}{4\pi }}}\) \({\displaystyle \Delta r_{s}\Delta r\geq 1}\)
momento-impulso Newtoniana di Schwarzschild \({\displaystyle \hbar _{\,r_{s}}={\frac {4\pi \hbar }{m^{2}}}={\frac {4\pi G}{c}}}\) \({\displaystyle \hbar _{\,r_{s}}=1}\) \({\displaystyle \hbar _{\,r_{s}}=4\pi }\)
momento angolare inverso Newtoniana di Schwarzschild \({\displaystyle {\frac {_{1}}{\hbar _{\,r_{s}}}}={\frac {m^{2}}{4\pi \hbar }}={\frac {c}{4\pi G}}}\) \({\displaystyle {\frac {_{1}}{\hbar _{\,r_{s}}}}=1}\) \({\displaystyle {\frac {_{1}}{\hbar _{\,r_{s}}}}={\frac {1}{4\pi }}}\)
Equazioni GEM per ll gravitomagnetismo per la gravità di Oliver Heaviside

ρg = kg/m3

Eg = a = m/s2

Bg = Eg/v = s−1

Dg = ρg/t = kg/(m3·s)

Hg = Dg·v = ρg/t = kg/(m2·s2)

Jg = ρg·v = kg/(m2·s)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E_{g}} =-4\pi G\rho _{g}}\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B_{g}} =0\ }\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {E_{g}} =-{\frac {\partial \mathbf {B_{g}} }{\partial t}}}\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {B_{g}} ={\frac {1}{c^{2}}}\left(-4\pi G\mathbf {J_{g}} +{\frac {\partial \mathbf {E_{g}} }{\partial t}}\right)}\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D_{g}} =\rho _{g}f}\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {H_{g}} =\mathbf {J_{g}} f+{\frac {\partial \mathbf {D_{g}} }{\partial t}}}\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E_{g}} =\rho _{g}}\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B_{g}} =0\ }\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {E_{g}} =-{\frac {\partial \mathbf {B_{g}} }{\partial t}}}\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {B_{g}} =\mathbf {J_{g}} +{\frac {\partial \mathbf {E_{g}} }{\partial t}}}\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D_{g}} =\rho _{g}f}\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {H_{g}} =\mathbf {J_{g}} f+{\frac {\partial \mathbf {D_{g}} }{\partial t}}}\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E_{g}} =4\pi \rho _{g}\ }\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B_{g}} =0\ }\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {E_{g}} =-{\frac {\partial \mathbf {B_{g}} }{\partial t}}}\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {B_{g}} =4\pi \mathbf {J_{g}} +{\frac {\partial \mathbf {E_{g}} }{\partial t}}}\)

\({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D_{g}} =\rho _{g}f}\)

\({\displaystyle \nabla \times \mathbf {H_{g}} =\mathbf {J_{g}} f+{\frac {\partial \mathbf {D_{g}} }{\partial t}}}\)

Forza di Lorentz del gravitomagnetismo di GEM \({\displaystyle \mathbf {F_{\text{g}}} =m\left(\mathbf {E} _{\text{g}}\ +\mathbf {v} \times \ 4\mathbf {B} _{\text{g}}\right)}\)
Vettore di Poynting del gravitomagnetismo di GEM

Intensità, W/m2

\({\displaystyle {\mathcal {S}}_{\text{g}}=-{\frac {c^{2}}{4\pi G}}\mathbf {E} _{\text{g}}\times 4\mathbf {B} _{\text{g}}}\) \({\displaystyle {\mathcal {S}}_{\text{g}}=-{\frac {_{1}}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{g}}\times 4\mathbf {B} _{\text{g}}}\) \({\displaystyle {\mathcal {S}}_{\text{g}}=-\mathbf {E} _{\text{g}}\times 4\mathbf {B} _{\text{g}}}\)
Equazione di campo gravitazionale di Albert Einstein

(Relatività generale)

\({\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }\) ridotto

\({\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}\) originale

\({\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}\) esteso

\({\displaystyle {G_{\mu \nu }=2T_{\mu \nu }}\ }\) \({\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }\)
Costante comologica \({\displaystyle \rho _{\Lambda }={\dfrac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}}\) \({\displaystyle \rho _{\Lambda }={\dfrac {\Lambda }{2}}}\) \({\displaystyle \rho _{\Lambda }={\dfrac {\Lambda }{8\pi }}}\)
Metrica di Schwarzschild \({\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\mathrm {sen} ^{2}\theta d\phi ^{2}}\)
Bosone di Higgs \({\displaystyle m_{H}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}}\)
Meccanismo del campo di Higgs \({\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi =-m({\bar {\psi }}_{L}\psi _{R}+{\bar {\psi }}_{R}\psi _{L})}\)

da cui:

\({\displaystyle \Phi =m+H}\)

\({\displaystyle \Phi \,\Psi \Psi =(m+H)\,\Psi \Psi }\)

\({\displaystyle (m+H)\Psi \Psi =m\,\Psi \Psi +H\,\Psi \Psi }\)

\({\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\phi ^{+}\\\phi ^{0}\end{pmatrix}}}\)

Langragiana di Higgs

\({\displaystyle {\mathcal {L}}_{H}=\left[\left(\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig'Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}}\)

Fermioni cinetici di Dirac \({\displaystyle i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }\)
Energia cinetica di Gauge \({\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {kin}}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }}\)
Interazione di Yukawa \({\displaystyle V\approx g{\bar {\Psi }}\phi \Psi }\) scalare

\({\displaystyle V\approx g{\bar {\Psi }}\gamma ^{5}\phi \Psi }\) pseudoscalre

Costante gravitazionale entropica[23][50] \({\displaystyle k_{e}={\frac {_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\equiv -G\,{\frac {m_{1}\,m_{2}}{q_{1}q_{2}}}}\)

\({\displaystyle {\frac {_{1}}{G}}\equiv {\frac {\mu _{0}}{c^{2}}}\,{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}={\frac {_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}\,c^{4}}}\,{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}\)

\({\displaystyle k_{e}\equiv -\,{\frac {m_{1}\,m_{2}}{4\pi \,q_{1}q_{2}}}}\)

\({\displaystyle {\frac {_{1}}{G}}\equiv {\frac {_{1}}{4\pi \,c^{2}}}\,{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}\)

\({\displaystyle k_{e}\equiv -\,{\frac {m_{1}\,m_{2}}{q_{1}q_{2}}}}\)

\({\displaystyle {\frac {_{1}}{G}}\equiv {\frac {_{1}}{c^{2}}}\,{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}\)

Nota:

\({\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}}\) (versione Lorentz – Heaviside)
\({\displaystyle e={\sqrt {\alpha }}}\) (versione gaussiana)

dove \({\displaystyle \alpha }\) è la costante di struttura fine.

\({\displaystyle m_{e}={\sqrt {4\pi \alpha _{G}}}}\) (versione di Lorentz – Heaviside)
\({\displaystyle m_{e}={\sqrt {\alpha _{G}}}}\) (versione gaussiana)

dove \({\displaystyle \alpha _{G}}\) è la costante di accoppiamento gravitazionale.

Come si può vedere sopra, la forza gravitazionale di due corpi di 1 Planck massa ciascuna, separato da 1 lunghezza di Planck è 1 Planck forza nella versione gaussiana, o \({\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}\) Planck forza nella versione Lorentz-Heaviside. Allo stesso modo, la distanza percorsa dalla luce durante 1 tempo di Planck è di 1 lunghezza di Planck . Per determinare, in termini di SI o di un altro sistema esistente di unità, devono essere soddisfatti i valori quantitativi delle cinque unità Planck di base, queste due equazioni e altre tre:

\({\displaystyle l_{\text{P}}=c\ t_{\text{P}}}\)

\({\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}m_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}=4\pi G\ {\frac {m_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}}}}\) (Versione Lorentz – Heaviside)

\({\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}m_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}=G\ {\frac {m_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}}}}\) (Versione gaussiana)

\({\displaystyle E_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}^{2}m_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}=\hbar \ {\frac {1}{t_{\text{P}}}}}\)

\({\displaystyle C_{\text{P}}={\frac {t_{\text{P}}^{2}q_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}m_{\text{P}}}}=\varepsilon _{0}\ l_{\text{P}}}\) (Versione Lorentz – Heaviside)

\({\displaystyle C_{\text{P}}={\frac {t_{\text{P}}^{2}q_{\text{P}}^{2}}{l_{\text{P}}^{2}m_{\text{P}}}}=4\pi \varepsilon _{0}\ l_{\text{P}}}\)(Versione gaussiana)

\({\displaystyle E_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}^{2}m_{\text{P}}}{t_{\text{P}}^{2}}}=k_{\text{B}}\ \Theta _{\text{P}}}\)

Scelte alternative di normalizzazione


Come già detto sopra, le unità di Planck sono derivate "normalizzando" i valori numerici di alcune costanti fondamentali su 1. Queste normalizzazioni non sono né le uniche possibili né necessariamente le migliori. Inoltre, la scelta di quali fattori normalizzare, tra i fattori che compaiono nelle equazioni fondamentali della fisica, non è evidente e i valori delle unità di Planck sono sensibili a questa scelta.

Il fattore 4 π è onnipresente nella fisica teorica perché la superficie di una sfera del raggio r è 4 π r 2 . Questo, insieme al concetto di flusso, sono la base per la legge del quadrato inverso, la legge di Gauss e l'operatore di divergenza applicato alla densità del flusso . Ad esempio, i campi gravitazionali ed elettrostatici prodotti dalle cariche puntuali hanno una simmetria sferica (Barrow 2002: 214–15). Il 4 π r 2 che appare nel denominatore della legge di Coulomb in forma razionalizzata, ad esempio, segue il flusso di un campo elettrostatico distribuito uniformemente sulla superficie di una sfera. Allo stesso modo per la legge di gravitazione universale di Newton. (Se lo spazio avesse più di tre dimensioni spaziali, il fattore 4 π dovrebbe essere modificato in base alla geometria della sfera in dimensioni superiori . )

Quindi un sostanziale corpus di teoria fisica sviluppato da Planck (1899) suggerisce di non normalizzare G ma 4 π G (o 8 π G o 16 π G ) a 1. Ciò introdurrebbe

un fattore di 1/4 π (o 1/8 π o 1/16 π) nella forma nondimensionalized della legge di gravitazione universale, coerente con la moderna formulazione razionalizzata della legge di Coulomb in termini di costante dielettrica del vuoto. Infatti, normalizations alternativi conservano spesso il fattore 1/ sotto forma nondimensionalized della legge di Coulomb e, in modo che le equazioni del nondimensionalized di Maxwell per l'elettromagnetismo e gravitomagnetismo entrambi assume la stessa forma di quelle per elettromagnetismo in SI, che non hanno qualsiasi fattore di 4 π. Quando questo viene applicato alle costanti elettromagnetiche, ε 0, questo sistema di unità viene chiamato unità Lorentz – Heaviside "razionalizzate" . Se applicate in aggiunta alle unità di gravitazione e Planck, queste sono chiamate unità Planck razionalizzate[51] e sono viste nella fisica delle alte energie .

Le unità Planck razionalizzate sono definite in modo tale \({\displaystyle c=4\pi G=\hbar =\epsilon _{0}=k_{\text{B}}=1}\) . Queste sono le unità di Planck basate su unità di Lorentz-Heaviside (invece che sulle unità gaussiane più convenzionali) come illustrato sopra. Esistono diverse possibili normalizzazioni alternative.

Gravità

Nel 1899, la legge di gravitazione universale di Newton era ancora vista come esatta, piuttosto che come una comoda approssimazione che sosteneva per "piccole" velocità e masse (la natura approssimativa della legge di Newton fu mostrata in seguito allo sviluppo della relatività generale nel 1915). Quindi Planck normalizzò a 1 la costante gravitazionale G nella legge di Newton. Nelle teorie che emergono dopo il 1899, G appare quasi sempre in formule moltiplicate per 4 π o un piccolo multiplo intero. Quindi, una scelta da fare quando si progetta un sistema di unità naturali è che, se del caso, le istanze di 4 π compaiono nelle equazioni della fisica devono essere eliminate tramite la normalizzazione.

Normalizzare 4πG a 1: (come le unità Planck versione Lorentz – Heaviside)

\({\displaystyle m_{e}={\sqrt {4\pi \alpha _{G}}}\cdot m_{\text{P}}\approx 1.48368\times 10^{-22}\cdot m_{\text{P}}\,}\)

dove \({\displaystyle {\alpha _{G}}\ }\) è la costante di accoppiamento gravitazionale. Questa convenzione è vista nella fisica delle alte energie.

Elettromagnetismo

Per costruire unità naturali nell'elettromagnetismo si possono usare:

Di questi, Lorentz – Heaviside è un po' 'più comune,[52] principalmente perché le equazioni di Maxwell sono più semplici nelle unità di Lorentz-Heaviside che non nelle unità gaussiane.

Nei sistemi a due unità, la carica dell'unità Planck qP è:

dove ħ è la costante di Planck ridotta, c è la velocità della luce e α ≈ 1 / 137.036 è la costante di struttura fine.

In un sistema di unità naturale in cui c = 1, le unità di Lorentz – Heaviside possono essere derivate dalle unità impostando ε 0 = μ 0 = 1. Unità Gaussiane possono essere derivati da unità da un insieme più complicato di trasformazioni, come moltiplicando tutti i campi elettrici da (4π ε 0)-1/2 tutti suscettibilità magnetica di 4π e così via. Unità di Planck normalizzare a 1 il Coulomb forza costante k e = 1/ε0 (come fa il cgs sistema di unità e le unità Gaussiane). Questo imposta l'impedenza Planck, ZP uguali a Z0/ dove Z0 è l'impedenza caratteristica di spazio libero.

Normalizzare la permittività dello spazio libero da ε0 a 1: (come fanno le unità Lorentz – Heaviside) (come le unità Planck della versione Lorentz – Heaviside)

\({\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}\cdot q_{\text{P}}\approx 0.302822121\cdot q_{\text{P}}\,}\)

dove \({\displaystyle {\alpha }\ }\) è la costante di struttura fine . Questa convenzione è vista nella fisica delle alte energie.

Temperatura

Planck normalizzò a 1 la costante di Boltzmann k B.

Normalizzando 1/2 k B a 1:

Unità di Planck e il ridimensionamento invariante della natura


Alcuni teorici (come Dirac e Milne) hanno proposto cosmologie che ipotizzano che le "costanti" fisiche potrebbero effettivamente cambiare nel tempo (ad esempio una velocità della luce variabile o la teoria di G variabile di Dirac ). Tali cosmologie non hanno ottenuto l'accettazione mainstream e tuttavia esiste ancora un notevole interesse scientifico nella possibilità che le "costanti" fisiche possano cambiare, sebbene tali proposizioni introducano domande difficili. Forse la prima domanda da porsi è: in che modo un tale cambiamento farebbe una notevole differenza operativa nella misurazione fisica o, più fondamentalmente, nella nostra percezione della realtà? Se una particolare costante fisica fosse cambiata, come la noteremmo o come la realtà fisica sarebbe diversa? Quali costanti modificate si traducono in una differenza significativa e misurabile nella realtà fisica? Se una costante fisica che non è priva di dimensioni, come la velocità della luce, fosse effettivamente cambiata, saremmo in grado di notarla o misurarla in modo inequivocabile? - una domanda esaminata da Michael Duff nel suo articolo "Commento sulla variazione temporale delle costanti fondamentali".[53]

George Gamow sosteneva nel suo libro Mr Tompkins nel Paese delle Meraviglie che un cambiamento sufficiente in una costante fisica dimensionale, come la velocità della luce nel vuoto, avrebbe comportato evidenti cambiamenti percettibili. Ma questa idea è sfidata:

«[An] important lesson we learn from the way that pure numbers like α define the world is what it really means for worlds to be different. The pure number we call the fine structure constant and denote by α is a combination of the electron charge, e, the speed of light, c, and Planck's constant, h. At first we might be tempted to think that a world in which the speed of light was slower would be a different world. But this would be a mistake. If c, h, and e were all changed so that the values they have in metric (or any other) units were different when we looked them up in our tables of physical constants, but the value of α remained the same, this new world would be observationally indistinguishable from our world. The only thing that counts in the definition of worlds are the values of the dimensionless constants of Nature. If all masses were doubled in value [including the Planck mass mP ] you cannot tell because all the pure numbers defined by the ratios of any pair of masses are unchanged.»

Facendo riferimento al "Commento di Duff sulla variazione temporale delle costanti fondamentali"[53] e all'articolo di Duff, Okun e Veneziano "Trilogo sul numero di costanti fondamentali",[54] particolare la sezione intitolata "Il mondo operativamente indistinguibile di Mr Tompkins ", se tutte le quantità fisiche (masse e altre proprietà delle particelle) fossero espresse in termini di unità di Planck, tali quantità sarebbero numeri senza dimensioni (massa divisa per la massa di Planck, lunghezza divisa per la lunghezza di Planck, ecc.) E il solo le quantità che alla fine misuriamo negli esperimenti fisici o nella nostra percezione della realtà sono numeri senza dimensioni. Quando si misura comunemente una lunghezza con un righello o una misura di nastro, quella persona in realtà sta contando i segni di spunta su un determinato standard o sta misurando la lunghezza relativa a quel determinato standard, che è un valore senza dimensioni. Non è diverso per gli esperimenti fisici, poiché tutte le quantità fisiche sono misurate rispetto ad altre quantità simili.

Possiamo notare una differenza se alcune quantità fisiche senza dimensioni come la costante di struttura fine, α, i cambiamenti o il rapporto massa protone-elettrone, mp/me, i cambiamenti (le strutture atomiche cambieranno) ma se restassero tutte le quantità fisiche senza dimensioni invariato (questo include tutti i possibili rapporti di quantità fisica dimensionalmente identica), non possiamo dire se una quantità dimensionale, come la velocità della luce, c, è cambiata. E, in effetti, il concetto di Tompkins diventa insignificante nella nostra percezione della realtà se una quantità dimensionale come c è cambiata, anche drasticamente.

Se la velocità della luce c, sono stati in qualche modo improvvisamente tagliato a metà e cambiato a 1/2 c (ma con l'assioma che tutte le grandezze fisiche adimensionali rimangono uguali), allora la lunghezza di Planck aumenterebbe di un fattore 2 √ 2 dal punto di vista di un osservatore inalterato all'esterno. Misurata da osservatori "mortali" in termini di unità di Planck, la nuova velocità della luce rimarrebbe come 1 nuova lunghezza di Planck per 1 nuovo tempo di Planck - che non è diverso dalla vecchia misurazione. Ma, poiché per assioma, la dimensione degli atomi (approssimativamente il raggio di Bohr) è correlata alla lunghezza di Planck da una costante immutabile di proporzionalità:

\({\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}={\frac {m_{\text{P}}}{m_{e}\alpha }}l_{\text{P}}.}\)

Quindi gli atomi sarebbero più grandi (in una dimensione) di 2 √ 2, ognuno di noi sarebbe più alto di 2 √ 2, e così i nostri stick del metro sarebbero più alti (e più larghi e più spessi) di un fattore 2 √ 2. La nostra percezione della distanza e delle lunghezze rispetto alla lunghezza di Planck è, per assioma, una costante immutabile senza dimensioni.

I nostri orologi ticchetterebbero più lentamente di un fattore 4 √ 2 (dal punto di vista di questo osservatore inalterato all'esterno) perché il tempo di Planck è aumentato di 4 √ 2 ma non conosceremmo la differenza (la nostra percezione delle durate del tempo rispetto al tempo di Planck è, per assioma, una costante immutabile senza dimensioni). Questo ipotetico osservatore inalterato all'esterno potrebbe osservare che la luce ora si propaga a metà della velocità che aveva precedentemente (così come tutte le altre velocità osservate) ma avrebbe comunque percorso 299792458 dei nostri nuovi metri nel tempo trascorso da uno dei nostri nuove secondi( 1/2 c × 4 √ 2 ÷ 2 √ 2 continua a pari 299792458 m/s ). Non noteremmo alcuna differenza.

Ciò contraddice ciò che George Gamow scrive nel suo libro Mr. Tompkins ; lì, Gamow suggerisce che se una costante universale dimensione-dipendente come c cambiato significativamente, avremmo facilmente notare la differenza. Il disaccordo è meglio pensato come l'ambiguità nella frase "cambiare una costante fisica" ; cosa succederebbe se (1)   tutte le altre costanti senza dimensione sono state mantenute uguali o se (2)   tutte le altre costanti dipendenti dalla dimensione vengono mantenute uguali. La seconda scelta è una possibilità alquanto confusa, poiché la maggior parte delle nostre unità di misura sono definite in relazione ai risultati degli esperimenti fisici e i risultati sperimentali dipendono dalle costanti. Gamow non affronta questa sottigliezza; gli esperimenti di pensiero che conduce nelle sue opere popolari assumono la seconda scelta per "cambiare una costante fisica" . E Duff o Barrow sottolineano che l'attribuzione di un cambiamento nella realtà misurabile, ovvero α, a una specifica quantità dimensionale, come c, è ingiustificata. La stessa differenza operativa nella misurazione o nella realtà percepita potrebbe anche essere causata da un cambiamento in h o e se α viene modificato e non vengono modificate altre costanti senza dimensione. Sono solo le costanti fisiche senza dimensioni che alla fine contano nella definizione di mondi.[53]

Questo aspetto invariato della scala relativa a Planck, o quello di qualsiasi altro sistema di unità naturali, porta molti teorici a concludere che un ipotetico cambiamento nelle costanti fisiche dimensionali può manifestarsi solo come un cambiamento nelle costanti fisiche senza dimensioni . Una di queste costanti fisiche senza dimensioni è la costante di struttura fine . Ci sono alcuni fisici sperimentali che affermano di aver effettivamente misurato un cambiamento nella costante della struttura fine[55] e questo ha intensificato il dibattito sulla misurazione delle costanti fisiche. Secondo alcuni teorici[56] ci sono alcune circostanze molto speciali in cui i cambiamenti nella costante della struttura fine possono essere misurati come un cambiamento nelle costanti fisiche dimensionali . Altri tuttavia rifiutano la possibilità di misurare un cambiamento nelle costanti fisiche dimensionali in qualsiasi circostanza.[53] La difficoltà o persino l'impossibilità di misurare i cambiamenti nelle costanti fisiche dimensionali ha portato alcuni teorici a discutere tra loro se una costante fisica dimensionale abbia o meno un significato pratico e che a sua volta porti a domande su quali costanti fisiche dimensionali siano significative.[54]

Note


  1. ^ P. S. Wesson, The application of dimensional analysis to cosmology , in Space Science Reviews, vol. 27, n. 2, 1980, p. 117, Bibcode:1980SSRv...27..109W , DOI:10.1007/bf00212237 .
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  13. ^ Heaviside-Lorentz Units , su mysite.du.edu. URL consultato il 22 marzo 2020.
  14. ^ Valori presi da The NIST Reference
  15. ^ cioè definire le costanti fondamentali in funzione delle unità di lunghezza (metro, \({\displaystyle {\text{m}}}\)), tempo (secondo, \({\displaystyle {\text{s}}}\)), massa (chilogrammo, \({\displaystyle {\text{Kg}}}\)), carica (coulomb, \({\displaystyle {\text{C}}}\)), temperatura (kelvin, \({\displaystyle {\text{K}}}\)) ed energia (joule, \({\displaystyle {\text{J}}}\)).
  16. ^ modificato da Il matematico impertinente di Piergiorgio Odifreddi sul numero 553 settembre 2014 di Le Scienze, edizione italiana di Scientific American
  17. ^ Fundamental Physical Constants from NIST , su physics.nist.gov.
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Data: 20.06.2021 02:14:33 CEST

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